Παραγοντοποίηση α^3+β^3+γ^3

kritonios · #1

Καλησπέρα σας,
θα ήθελα τη βοήθεια σας στην ακόλουθη άσκηση:
Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α να παραγοντοποιηθεί η παράσταση $\alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}$

Καταλαβαίνω πως είναι προχωρημένη για γ' γυμνασιου, ωστόσο την βρήκα σε βοήθημα για αυτη τη τάξη. Προφανώς λύνεται με ταυτότητες. Έχω δοκιμάσει να γράψω το $\alpha ^{3}+\beta ^{3}=(\alpha +\beta)^{3}-3\alpha^{2}\beta-3\alpha\beta^{3}$ ή το αντίστοιχα αθροισμα κύβων με β και γ αλλά χωρίς αποτέλεσμα.
Ευχαριστώ

#2

kritonios έγραψε: Πέμ Ιαν 27, 2022 4:05 am Καλησπέρα σας,
θα ήθελα τη βοήθεια σας στην ακόλουθη άσκηση:
Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α να παραγοντοποιηθεί η παράσταση $\alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}$

Καταλαβαίνω πως είναι προχωρημένη για γ' γυμνασιου, ωστόσο την βρήκα σε βοήθημα για αυτη τη τάξη. Προφανώς λύνεται με ταυτότητες. Έχω δοκιμάσει να γράψω το $\alpha ^{3}+\beta ^{3}=(\alpha +\beta)^{3}-3\alpha^{2}\beta-3\alpha\beta^{3}$ ή το αντίστοιχα αθροισμα κύβων με β και γ αλλά χωρίς αποτέλεσμα.
Ευχαριστώ

Έχω φτάσει μέχρι εδώ $\displaystyle \frac{{\alpha + \beta + \gamma }}{2}\left( {{\alpha ^2} + \alpha \beta + \alpha \gamma - 2\beta \gamma } \right).$ Δεν είναι πάντως για γ' γυμνασίου.

abgd · #3

kritonios έγραψε: Πέμ Ιαν 27, 2022 4:05 am Καλησπέρα σας,
θα ήθελα τη βοήθεια σας στην ακόλουθη άσκηση:
Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α να παραγοντοποιηθεί η παράσταση $\alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}$

Καταλαβαίνω πως είναι προχωρημένη για γ' γυμνασιου, ωστόσο την βρήκα σε βοήθημα για αυτη τη τάξη. Προφανώς λύνεται με ταυτότητες. Έχω δοκιμάσει να γράψω το $\alpha ^{3}+\beta ^{3}=(\alpha +\beta)^{3}-3\alpha^{2}\beta-3\alpha\beta^{3}$ ή το αντίστοιχα αθροισμα κύβων με β και γ αλλά χωρίς αποτέλεσμα.
Ευχαριστώ

Ισχύουν:
$\displaystyle a^2=b^2+c^2, \ \ b^2=a^2-c^2, \ \ c^2=a^2-b^2$
Άρα
$\displaystyle \bf{a^3+b^3+c^3=a\cdot a^2+b^3+c^3=a(b^2+c^2)+b^3+c^3=ab^2+ac^2+b^3+c^3=$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

kritonios · #4

george visvikis έγραψε: Πέμ Ιαν 27, 2022 10:05 am
kritonios έγραψε: Πέμ Ιαν 27, 2022 4:05 am Καλησπέρα σας,
θα ήθελα τη βοήθεια σας στην ακόλουθη άσκηση:
Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α να παραγοντοποιηθεί η παράσταση $\alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}$

Καταλαβαίνω πως είναι προχωρημένη για γ' γυμνασιου, ωστόσο την βρήκα σε βοήθημα για αυτη τη τάξη. Προφανώς λύνεται με ταυτότητες. Έχω δοκιμάσει να γράψω το $\alpha ^{3}+\beta ^{3}=(\alpha +\beta)^{3}-3\alpha^{2}\beta-3\alpha\beta^{3}$ ή το αντίστοιχα αθροισμα κύβων με β και γ αλλά χωρίς αποτέλεσμα.
Ευχαριστώ
Έχω φτάσει μέχρι εδώ $\displaystyle \frac{{\alpha + \beta + \gamma }}{2}\left( {{\alpha ^2} + \alpha \beta + \alpha \gamma - 2\beta \gamma } \right).$ Δεν είναι πάντως για γ' γυμνασίου.

Συμφωνω πως δεν είναι για γ' γυμνασίου, κανείς σε αυτο το επίπεδο δεν προκειται να το σκεφτει (εκτος αν εχει μαθηματικη σκέψη). Ξανατονίζω όμως πως την βρηκα σε βοηθημα αυτης της ταξης. Προφανως όχι στο κεφαλαιο της παραγοντοποίησης (ηταν σε μια ενοτητα με γενικες ασκησεις), οπότε είπα να το δημοσιεύσω στην κατηγορία Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ του mathematica. Ευχαριστώ

kritonios · #5

abgd έγραψε: Πέμ Ιαν 27, 2022 3:44 pm
kritonios έγραψε: Πέμ Ιαν 27, 2022 4:05 am Καλησπέρα σας,
θα ήθελα τη βοήθεια σας στην ακόλουθη άσκηση:
Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α να παραγοντοποιηθεί η παράσταση $\alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}$

Καταλαβαίνω πως είναι προχωρημένη για γ' γυμνασιου, ωστόσο την βρήκα σε βοήθημα για αυτη τη τάξη. Προφανώς λύνεται με ταυτότητες. Έχω δοκιμάσει να γράψω το $\alpha ^{3}+\beta ^{3}=(\alpha +\beta)^{3}-3\alpha^{2}\beta-3\alpha\beta^{3}$ ή το αντίστοιχα αθροισμα κύβων με β και γ αλλά χωρίς αποτέλεσμα.
Ευχαριστώ
Ισχύουν:
$\displaystyle a^2=b^2+c^2, \ \ b^2=a^2-c^2, \ \ c^2=a^2-b^2$
Άρα
$\displaystyle \bf{a^3+b^3+c^3=a\cdot a^2+b^3+c^3=a(b^2+c^2)+b^3+c^3=ab^2+ac^2+b^3+c^3=$
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
$\displaystyle =\bf{b^2(a+b)+c^2(a+c)=(a^2-c^2)(a+b)+(a^2-b^2)(a+c)=....=(a+b)(a+c)(2a-b-c)}$

Ευχαριστώ πολύ για την λύση!

Παραγοντοποίηση α^3+β^3+γ^3

Παραγοντοποίηση α^3+β^3+γ^3

Re: Παραγοντοποίηση α^3+β^3+γ^3

Re: Παραγοντοποίηση α^3+β^3+γ^3

Re: Παραγοντοποίηση α^3+β^3+γ^3

Re: Παραγοντοποίηση α^3+β^3+γ^3

Μέλη σε σύνδεση