Πρόβλημα στη Θεωρία Galois

TrItOs · #1

Πρόβλημα: Δίνεται το πολυώνυμο $f ( x ) = x^{4} + 2 x - 2 \in \mathbb{Q}[x]$ . Ακολουθούν τα παρακάτω ερωτήματα:

Να δείξετε ότι το πολυώνυμο είναι ανάγωγο στο $\mathbb{Q}$ .

Να δείξετε ότι το πολυώνυμο έχει δύο πραγματικές ρίζες και δύο μιγαδικές ρίζες.

Έστω $r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4}$ οι ρίζες τους πολυωνύμου . Να δείξετε ότι $\Delta^{2} = \prod\limits_{1 \leqslant i < j \leqslant 4} \big( r_{i} - r_{j} \big)^{2} \in \mathbb{Q}$ .
Σημείωση: Η ποσότητα $\Delta = \prod\limits_{1 \leqslant i < j \leqslant 4} \big( r_{i} - r_{j} \big)$ ονομάζεται διακρίνουσα του πολυωνύμου.

Έστω το σώμα διάσπασης του πολυωνύμου επί του $\mathbb{Q}$ . Να δειχθεί ότι το είναι επέκταση επί του $\mathbb{Q}$ .

Αληθεύει ότι $\sqrt[5]{2022} \in L$

Να βρεθεί ο βαθμός $\big[ L : \mathbb{Q} \big]$ .

Έστω μια πραγματική ρίζα του πολυωνύμου . Να ελεγχθεί αν το είναι κατασκευάσιμο σημείο.

Να δειχθεί ότι $\frac{2}{b^{3} + 2} \in \mathbb{Q}(b)$ .

Λύση

Εφαρμόζουμε το κριτήριο για τον πρώτο αριθμό στο πολυώνυμο .
Τότε το πολυώνυμο είναι ανάγωγο επί του $\mathbb{Q}$ .

$f(x) = x^{4} + 2 x - 2$
$f'(x) = 4 x ^{3} + 2 = 4 \Big( x^{3} + \frac{1}{2} \Big) \Rightarrow \begin{cases} x < - \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \Leftrightarrow f'(x) < 0 \\ x \geqslant - \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \Leftrightarrow f'(x) \geqslant 0 \end{cases}$ τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο $\big( - \infty , - \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \big)$ , η είναι γνησίως αύξουσα στο $\big( - \frac{1}{\sqrt[3]{2}} , + \infty \big)$ και η έχει ένα μοναδικό ολικό ελάχιστο στο $x = - \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ με τιμή $f \big( - \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \big) = \frac{1}{2 \sqrt[3]{2}} - \frac{2}{\sqrt[3]{2}} - 2 = - \frac{3}{2 \sqrt[3]{2}} - 2 < 0$ .
$f''(x) = 12 x^{2} \geqslant 0 \Rightarrow$ γνησίως αύξουσα και η είναι κυρτή.
Συνολικά, το πολυώνυμο τέμνει τον άξονα σε ακριβώς δύο σημεία και μόνο.
Σχολιάζουμε ότι η μία πραγματική ρίζα βρίσκεται στο διάστημα και η άλλη πραγματική ρίζα στο , λόγω του Θεωρήματος .
Και οι υπόλοιπες δύο ρίζες του πολυωνύμου είναι δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες.

Είναι $\Delta^{2} = \prod\limits_{1 \leqslant i < j \leqslant 4} \big( r_{i} - r_{j} \big)^{2} = \big( r_{1} - r_{2} \big)^{2} \big( r_{1} - r_{3} \big)^{2} \big( r_{1} - r_{4} \big)^{2} \big( r_{2} - r_{3} \big)^{2} \big( r_{2} - r_{4} \big)^{2} \big( r_{3} - r_{4} \big)^{2}$ .
Παρατηρούμε ότι $\forall \sigma \in S_{4} : \sigma \big( \Delta^{2} \big) = \prod\limits_{1 \leqslant i < j \leqslant 4} \big( r_{\sigma(i)} - r_{\sigma(j)} \big)^{2} = \Delta^{2}$ .
Άρα η ποσότητα $\Delta^{2}$ είναι συμμετρική και σύμφωνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα των Στοιχειωδών Συμμετρικών Πολυωνύμων έχουμε ότι ο αριθμός $\Delta^{2}$ γράφεται ως ρητή έκφραση των στοιχειωδών συμμετρικών πολυωνύμων $s_{1} = r_{1} + r_{2} + r_{3} + r_{4} = 0 \in \mathbb{Q}$ , $s_{2} = r_{1} r_{2} + r_{1} r_{3} + r_{1} r_{4} + r_{2} r_{3} + r_{2} r_{4} + r_{3} r_{4} = 0 \in \mathbb{Q}$ , $s_{3} = r_{1} r_{2} r_{3} + r_{1} r_{2} r_{4} + r_{1} r_{3} r_{4} + r_{2} r_{3} r_{4} = - 2 \in \mathbb{Q}$ και $s_{4} = r_{1} r_{2} r_{3} r_{4} = - 2 \in \mathbb{Q}$ . Επομένως, $\Delta^{2} \in \mathbb{Q}$ .

Το είναι πεπερασμένη επέκταση του $\mathbb{Q}$ , διότι γνωρίζουμε ότι $\big[ L : \mathbb{Q} \big] \Big| \big| S_{4} \big| = 4! = 24$ .
Οπότε η είναι αλγεβρική επέκταση του $\mathbb{Q}$ .
Επιπλέον, $characteristic \big( \mathbb{Q} \big) = 0$ .
Άρα το είναι διαχωρίσιμη επέκταση του $\mathbb{Q}$ .
Στη συνέχεια, το $L = \mathbb{Q} \big( r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4} \big)$ είναι το σώμα διάσπασης του πολυωνύμου επί του $\mathbb{Q}$ , άρα το είναι κανονική επέκταση του $\mathbb{Q}$ .
Συνολικά, το είναι επέκταση επί του $\mathbb{Q}$ .

Αν υποθέσουμε ότι $\sqrt[5]{2022} \in L \Rightarrow \mathbb{Q} \big( \sqrt[5]{2022} \big) \subseteq L \Rightarrow \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q} \big( \sqrt[5]{2022} \big) \subseteq L$ .
Ο αριθμός $\sqrt[5]{2022}$ είναι αλγεβρικός βαθμού επί του $\mathbb{Q}$ , διότι ο $\sqrt[5]{2022}$ είναι ρίζα του ανάγωγου πολυωνύμου $x^{5} - 2022 \in \mathbb{Q}[x]$ , δηλαδή $\big[ \mathbb{Q} \big( \sqrt[5]{2022} \big) : \mathbb{Q} \big] = 5$ .
Οπότε από το Θεώρημα Βαθμών Επεκτάσεις Σωμάτων ισχύει ότι $\big[ L : \matbb{Q} \big] = \big[ L : \mathbb{Q} \big( \sqrt[5]{2022} \big) \big] \cdot \big[ \mathbb{Q} \big( \sqrt[5]{2022} \big) : \mathbb{Q} \big] = 5 \cdot \big[ L : \mathbb{Q} \big( \sqrt[5]{2022} \big) \big] \Rightarrow 5 \Big| \big[ L : \mathbb{Q} \big]$ και $\big[ L : \mathbb{Q} \big] \Big| 4! = 24$ .
Το οποίο είναι άτοπο, καθώς δεν αληθεύει ότι $5 \big| 24$ .
Άρα $\sqrt[5]{2022} \notin L$ .

Ας είναι $r_{1}, r_{2} \in \mathbb{R}$ και $r_{3}, r_{4} \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$ .
Επειδή $r_{4} = \overline{r_{3}} \Rightarrow \mathbb{Q}(r_{3}) = \mathbb{Q}(r_{4})$ .
Επιπλέον $r_{3}, r_{4} \notin \mathbb{Q}(r_{1})$ , διότι $r_{3}, r_{4} \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$ ενώ $\mathbb{Q}(r_{1}) \cap \mathbb{C} = \emptyset$ .
Οπότε $L = \mathbb{Q} \big( r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4} \big) = \mathbb{Q} \big( r_{1}, r_{2}, r_{3} \big)$ .
Είναι $\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q} \big( r_{1} \big) \subseteq \mathbb{Q} \big( r_{1} , r_{2} \big) \subseteq L = \mathbb{Q} \big( r_{1} , r_{2} , r_{3} \big)$ .
Το $r_{1}$ είναι ρίζα του ανάγωγου πολυωνύμου $f(x) = x^{4} + 2 x - 2 \in \mathbb{Q}[x]$ , άρα $\big[ \mathbb{Q}(r_{1}) : \mathbb{Q} \big] = 4$ .
Το $r_{2}$ είναι ρίζα του ανάγωγου πολυωνύμου $g(x) = ( x - r_{2} ) ( x - r_{3} ) ( x - r_{4} ) = x^{3} - ( r_{2} + r_{3} + r_{4} ) x^{2} + ( r_{2} r_{3} + r_{2} r_{4} + r_{3} r_{4} ) x - r_{2} r_{3} r_{4} =$
$= x^{3} - ( s_{1} - r_{1} ) x^{2} + ( s_{2} - r_{1} r_{2} - r_{1} r_{3} - r_{1} r_{4} ) x - \frac{s_{4}}{r_{1}} = x^{3} + r_{1} x^{2} + r_{1} ( r_{2} + r_{3} + r_{4} ) x + \frac{2}{r_{1}} =$
$= x^{3} + r_{1} x^{2} + r_{1}^{2} x + \frac{2}{r_{1}} \in \mathbb{Q}(r_{1})[x]$ , άρα $\big[ \mathbb{Q}(r_{1}, r_{2}) : \mathbb{Q}(r_{1}) \big] = 3$ . Εδώ πέρα μένει να αιτιολογήσουμε ότι $r_{2} \notin \mathbb{Q}(r_{1})$ .

Ερώτημα: Πως θα αποδείξουμε ότι $r_{2} \notin \mathbb{Q}(r_{1})$
Αν υποθέσουμε ότι $r_{2} \in \mathbb{Q}(r_{1}) \Rightarrow \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}(r_{2}) \subseteq \mathbb{Q}(r_{1})$ και επειδή $\big[ \mathbb{Q}(r_{1}) : \mathbb{Q} \big] = \big[ \mathbb{Q}(r_{1}) : \mathbb{Q} \big] = 4$ και τότε $\mathbb{Q}(r_{2}) = \mathbb{Q}(r_{1})$ .
Σε αυτή την περίπτωση θα έπρεπε να ήταν $L = \mathbb{Q} \big( r_{1}, r_{3} \big)$ .
Όπου εδώ θα είχαμε όπως προηγουμένως, $\big[ L : \mathbb{Q} \big] = \underbrace{\big[ L : \mathbb{Q}(r_{1}) \big]}_{= 2} \cdot \underbrace{\big[ \mathbb{Q}(r_{1}) : \mathbb{Q} \big]}_{= 4} = 8$ .
Σκεφτόμουν, μήπως μπορούμε να αποδείξουμε ότι $\exists \tau \in Aut_{\mathbb{Q}} ( L ) : \tau^{3} = id$ , δηλαδή θα μπορούσε να είναι της μορφής $\tau ( r_{1} ) = r_{2}$ , $\tau ( r_{2} ) = r_{3}$ , $\tau (r_{3} ) = r_{1}$ και $\tau ( r_{4} ) = r_{4}$ .
Να χρησιμοποιηθεί $\big( \tau ( r_{i} ) \big)^{4} + 2 \tau ( r_{i} ) - 2 = 0, i = 1, 2, 3, 4$ . Μπορεί να ικανοποιείται κάτι τέτοιο Μπορείτε να με βοηθήσετε με το ερώτημά μου ή πως βρίσκουμε τον βαθμό $\big[ L : \mathbb{Q} \big]$ , τι επιπλέον πρέπει να χρησιμοποιηθεί δώσετε την εύρεση του βαθμού της επέκτασης αυτής.

Το $r_{3}$ είναι ρίζα του ανάγωγου πολυωνύμου $h(x) = ( x- r_{3} ) ( x - r_{4} = x^{2} - ( r_{3} + r_{4} ) x + r_{3} r_{4} = x^{2} - ( s_{1} - r_{1} - r_{2} ) x + \frac{s_{4}}{r_{1} r_{2}} =$
$= x^{2} + ( r_{1} + r_{2} ) x - \frac{2}{r_{1} r_{2}} \in \mathbb{Q} \big( r_{1}, r_{2} \big)[x]$ , άρα $\big[ \mathbb{Q} \big( r_{1}, r_{2}, r_{3} \big) : \mathbb{Q} \big( r_{1} , r_{2} \big) \big] = 2$ .
Τελικά, έχουμε πως $\big[ L : \mathbb{Q} \big] = \big[ L : \mathbb{Q} \big( r_{1}, r_{2} \big) \big] \cdot \big[ \mathbb{Q} \big( r_{1}, r_{2} \big) : \mathbb{Q}(r_{1}) \big] \cdot \big[ \mathbb{Q}(r_{1}) : \mathbb{Q} \big] = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ .
Σχολιάζουμε ότι $Aut_{\mathbb{Q}} ( L ) \cong S_{4}$ .

Υποθέτουμε ότι ο αριθμός είναι κατασκευάσιμος.
Τότε θα υπήρχε μια ακολουθία σωμάτων, που το ένα θα ήταν επέκταση του άλλου, $K_{0} = \mathbb{Q} \subseteq K_{1} \subseteq K_{2} \subseteq \cdots \subseteq K_{n-1} \subseteq K_{n} = L$ με $\big[ K_{i+1} : K_{i} \big] \in \{ 1, 2 \}$ .
Όμως τότε θα ήταν ο βαθμός $\big[ L : \mathbb{Q} \big] = 24$ δύναμη του δύο, το οποίο είναι άτοπο.
Συνεπώς, η πραγματική ρίζα του πολυωνύμου $f(x) = x^{4} + 2 x - 2 \in \mathbb{Q}[x]$ δεν είναι κατασκευάσιμος αριθμός.

$\frac{2}{b^{3} + 2} = \frac{2 b}{b^{4} + 2 b} = \frac{2 b}{2} = b \in \mathbb{Q}(b)$ .

Πρόβλημα στη Θεωρία Galois

Πρόβλημα στη Θεωρία Galois

Μέλη σε σύνδεση