Με απλά υλικά (36)

#1

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle f$ , ορισμένη στο $\displaystyle [0,1]$ , με σύνολο τιμών το $\displaystyle [0,2]$ ,έτσι ώστε να ισχύει $\displaystyle {f}'(x)=\frac{1-x}{f(x)}$ για κάθε $\displaystyle x\in (0,2)$
α) Δείξετε ότι $\displaystyle f(1)=1$
β) Βρείτε τον τύπο της $\displaystyle f$ για κάθε $\displaystyle x\in [0,2]$
Για τα παρακάτω θεωρήστε γνωστό ότι $\displaystyle f(x)=\sqrt{2x-{{x}^{2}}}$
γ) Υπολογίστε το $\displaystyle I = \int_0^2 {f(x)dx}$
δ) Ένα σημείο $\displaystyle M(x,f(x))$ , με $\displaystyle x\in [0,2]$ , κινείται πάνω στη $\displaystyle {{C}_{f}}$ .
Αν είναι $\displaystyle K(x,0)$ και $\displaystyle {\mathrm O}$ η αρχή των αξόνων , να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του εμβαδού του τριγώνου $\displaystyle MOK$ .

Edit (4/2 , 12:45) .Μετά τις παρεμβάσεις παρακάτω , δίνεται το σύνολο τιμών .

ma128 · #2

α) ${f}'(x)=\frac{1-x}{f(x)}<=>2f(x){f}'(x)=2-2x<=>{f^2(x)}'={2x-x^2}'$ . Επομένως , υπάρχει

ανήκει

τέτοιο ώστε: f(x)^2=2x-x^2+c

. Δίνεται οτι η

έχει λαμβάνει ω μέγιστη την τιμή

. Αν λύσουμε {f}'(x)=0<=>1-x=0<=>x=1

προκύπτει οτι η

λαμβάνει μέγιστη τιμή για x=1

. Επομένως , f(1)=1

και άρα

.
β)Συνεπώς, f(x)^2=2x-x^2

και επειδή $f(x)\geqslant 0$ έπεται οτι $f(x)=\sqrt{2x-x^2}$ .
γ) ΒΟΗΘΕΙΑ! $\int _0^2f(x)dx=\int _0^2\sqrt{2x-x^2}dx=\int _0^2\sqrt{1-(x-1)^2}dx$ Θέτω u=x-1

$\int\sqrt{1-u^2}du$ αντικαθιστώ u=sin(y)

$\int cosy\sqrt{1-(siny)^2}du=\int (cosy)^2dy=\frac{cos(y)sin(y)}{2}+\frac{1}{2}\int 1dy$ ΜΕΧΡΙ ΕΔΩ ΕΦΤΑΣΑ ΚΑΙ ΑΝ ΕΙΝΑΙ ΣΩΣΤΟ.
δ) E(x)=xf(x)/2

${E}'(x)=\frac{3x-2x^2}{2f(x)}$
Η

παρουσιάζει μέγιστο για x=3/2

το

Ratio · #3

ma128 έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 02, 2022 10:40 pm
α) ${f}'(x)=\frac{1-x}{f(x)}<=>2f(x){f}'(x)=2-2x<=>{f^2(x)}'={2x-x^2}'$ . Επομένως , υπάρχει ανήκει τέτοιο ώστε: . Δίνεται οτι η έχει λαμβάνει ω μέγιστη την τιμή . Αν λύσουμε προκύπτει οτι η
λαμβάνει μέγιστη τιμή για . Επομένως , και άρα .
β)Συνεπώς, και επειδή $f(x)\geqslant 0$ έπεται οτι $f(x)=\sqrt{2x-x^2}$ .
γ) ΒΟΗΘΕΙΑ! $\int _0^2f(x)dx=\int _0^2\sqrt{2x-x^2}dx=\int _0^2\sqrt{1-(x-1)^2}dx$ Θέτω
$\int\sqrt{1-u^2}du$ αντικαθιστώ
$\int cosy\sqrt{1-(siny)^2}du=\int (cosy)^2dy=\frac{cos(y)sin(y)}{2}+\frac{1}{2}\int 1dy$ ΜΕΧΡΙ ΕΔΩ ΕΦΤΑΣΑ ΚΑΙ ΑΝ ΕΙΝΑΙ ΣΩΣΤΟ.
δ)
${E}'(x)=\frac{3x-2x^2}{2f(x)}$
Η παρουσιάζει μέγιστο για το

Αν πάρετε άκρα ολοκλήρωσης αρχικά για το

από

έως

και στη συνέχεια για το

από $u=\frac{-\pi}{2}$ έως $u=\frac{\pi}{2}$ το ολοκλήρωμα υπολογίζεται $\frac{\pi}{2}$

Christos.N · #4

ma128 έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 02, 2022 10:40 pm

.....
γ) ΒΟΗΘΕΙΑ! $\int _0^2f(x)dx=\int _0^2\sqrt{2x-x^2}dx=\int _0^2\sqrt{1-(x-1)^2}dx$ Θέτω
$\int\sqrt{1-u^2}du$ αντικαθιστώ
$\int cosy\sqrt{1-(siny)^2}du=\int (cosy)^2dy=\frac{cos(y)sin(y)}{2}+\frac{1}{2}\int 1dy$ ΜΕΧΡΙ ΕΔΩ ΕΦΤΑΣΑ ΚΑΙ ΑΝ ΕΙΝΑΙ ΣΩΣΤΟ.
......

Όπως το πήγες $\int cosy\sqrt{1-(siny)^2}du=\int (cosy)^2dy=\frac{cos(y)sin(y)}{2}+\frac{1}{2}\int 1dy$

$\int _0^2f(x)dx=\int _0^2\sqrt{2x-x^2}dx=\int_{-1}^1\sqrt{1-u^2}du=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (cosy)^2dy=[\frac{cos(y)sin(y)}{2}+\frac{1}{2}y]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}$

Αλλιώς προσγειωμένα στην υπάρχουσα εξεταστέα ύλη και διάσταση.

$\int _0^2f(x)dx=\int _0^2\sqrt{2x-x^2}dx=\int _0^2\sqrt{1-(x-1)^2}dx$ ,εδώ παρατηρούμε ότι η καμπύλη

$(x-1)^2+y^2=1 \Rightarrow y=\sqrt{1-(x-1)^2},_{y>0}$

εκφράζει κύκλο με κέντρο το σημείο (1,0)

και ακτίνα

ενώ η συνεπάγουσα έκφραση το θετικά προσανατολισμένο ημικύκλιο που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο. συνεπώς $E=\frac{1}{2}\pi 1^2=\frac{\pi}{2}$

#5

H σχεση $\displaystyle{f'(x)=\frac{1-x}{f(x)}}$ δεν είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{f'(x)f(x)=1-x}$ πχ στην 1η η $\displaystyle{f}$ δεν εχει ρίζα ενώ στην 2η μπορεί

Al.Koutsouridis · #6

ma128 έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 02, 2022 10:40 pm
Αν λύσουμε προκύπτει οτι η
λαμβάνει μέγιστη τιμή για . Επομένως , και άρα .

Ο μηδενισμός της παραγώγου δεν συνεπάγεται απαραίτητα ότι στο σημείο μηδενισμού έχουμε μέγιστο.

ma128 · #7

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 03, 2022 6:01 pm

ma128 έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 02, 2022 10:40 pm
Αν λύσουμε προκύπτει οτι η
λαμβάνει μέγιστη τιμή για . Επομένως , και άρα .
Ο μηδενισμός της παραγώγου δεν συνεπάγεται απαραίτητα ότι στο σημείο μηδενισμού έχουμε μέγιστο.

Ναι το γνωρίζω, ίσως έπρεπε να ήμουν λίγο πιο αναλυτικός. Η παραγωγός αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του σημείου αυτού, από θετικό σε αρνητικό. Επομένως η συνάρτηση είναι αύξουσα έως το σημείο αυτό και έπειτα φθίνουσα. Πράγμα που σημαίνει ότι παρουσιάζει μέγιστο σε αυτό το σημείο.

Christos.N · #8

R BORIS έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 03, 2022 5:37 pm
H σχεση $\displaystyle{f'(x)=\frac{1-x}{f(x)}}$ δεν είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{f'(x)f(x)=1-x}$ πχ στην 1η η $\displaystyle{f}$ δεν εχει ρίζα ενώ στην 2η μπορεί

Βέβαια για κάθε $x\in(0,2)$ η σχέση $\displaystyle{f'(x)=\frac{1-x}{f(x)}}$ μας πληροφορεί ότι $f(x)\neq 0$ ....

Υ.Γ. αν συνεχίσουμε λίγο το παραπάνω σκεπτικό τότε είναι άμεσο από τα δεδομένα ότι $0\le f(x) \le 1$ καθώς και $f(x)\neq 0$ στο $x\in(0,2)$ , άρα f(x)>0

.

Αυτό σημαίνει ότι οι f',~1-x

είναι ομόσημες ποσότητες .

KARKAR · #9

: γραφική.png (2.76 KiB) Προβλήθηκε 2863 φορές

Επειδή ο υπολογισμός του εμβαδού ενός ημικυκλίου , με χρήση ολοκληρώματος ,

είναι εκτός ύλης , νομίζω ότι θα ήταν προτιμότερο να ζητήσουμε αυτό το εμβαδόν ,

αφού πρώτα ζητήσουμε τον σχεδιασμό της γραφικής παράστασης της συνάρτησης .

#10

Πολλά πράγματα θέλουν στρώσιμο, και τα επεσήμαναν οι προλαλήσαντες. Θα αναφέρω όμως το σημαντικότερο σημείο που θελει στρώσιμο γιατί
είναι κεντρικό στην λύση σου. Εδώ:

ma128 έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 02, 2022 10:40 pm
Δίνεται οτι η έχει λαμβάνει μέγιστη την τιμή .

Δεν δίνεται τέτοιο πράγμα. Αυτό που δίνεται είναι ότι οι τιμές τις

είναι $\le 1$ (και $\ge 0$ αλλά για την ώρα δεν μας ενδιαφέρει). Δηλαδή θα μπορούσε κάλλιστα να ισχύει $f(x) \le \frac {1}{2}$ αφού δεν μας είπε κανείς ότι η συνάρτηση είναι επί.

ma128 · #11

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 03, 2022 10:27 pm
Πολλά πράγματα θέλουν στρώσιμο, και τα επεσήμαναν οι προλαλήσαντες. Θα αναφέρω όμως το σημαντικότερο σημείο που θελει στρώσιμο γιατί
είναι κεντρικό στην λύση σου. Εδώ:

ma128 έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 02, 2022 10:40 pm
Δίνεται οτι η έχει λαμβάνει μέγιστη την τιμή .
Δεν δίνεται τέτοιο πράγμα. Αυτό που δίνεται είναι ότι οι τιμές τις είναι $\le 1$ (και $\ge 0$ αλλά για την ώρα δεν μας ενδιαφέρει). Δηλαδή θα μπορούσε κάλλιστα να ισχύει $f(x) \le \frac {1}{2}$ αφού δεν μας είπε κανείς ότι η συνάρτηση είναι επί.

Πράγματι έχετε απόλυτο δίκιο. Αναθεωρώ έχουμε οτι f^2(1)=1+c

και $f(1)\leqslant 1$ .
Άρα $c\leqslant 0$ (A)
παράλληλα f^2(0)=f^2(2)=c

.
Επομένως $c\geqslant 0$ (B)
Λόγω των (A) και (B) προκύπτει ότι: c=0

και άρα

#12

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 03, 2022 7:49 pm
γραφική.png Επειδή ο υπολογισμός του εμβαδού ενός ημικυκλίου , με χρήση ολοκληρώματος ,

είναι εκτός ύλης , νομίζω ότι θα ήταν προτιμότερο να ζητήσουμε αυτό το εμβαδόν ,

αφού πρώτα ζητήσουμε τον σχεδιασμό της γραφικής παράστασης της συνάρτησης .

Η μελέτη δεν νομίζω ότι λύνει το πρόβλημα .
$\displaystyle f'(x) = \frac{{1 - x}}{{f(x)}} \Rightarrow f''(x) = \frac{{ - f{{(x)}^2} - {{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{{f^3}(x)}} < 0$
Άρα είναι κοίλη.Πως να καταλάβει κάποιος από εδώ ότι είναι κύκλος ; Θα μπορούσε να τη σχεδιάσει σαν παραβολή .
Μπορεί όμως να ζητηθεί ότι κάθε σημείο της καμπύλης ισαπέχει από το $\displaystyle {\rm K}(1,0)$
ή ότι η εφαπτομένη είναι κάθετη στην αντίστοιχη ακτίνα .

Christos.N · #13

exdx έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 04, 2022 12:23 am

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 03, 2022 7:49 pm
γραφική.png Επειδή ο υπολογισμός του εμβαδού ενός ημικυκλίου , με χρήση ολοκληρώματος ,

είναι εκτός ύλης , νομίζω ότι θα ήταν προτιμότερο να ζητήσουμε αυτό το εμβαδόν ,

αφού πρώτα ζητήσουμε τον σχεδιασμό της γραφικής παράστασης της συνάρτησης .
Η μελέτη δεν νομίζω ότι λύνει το πρόβλημα .
$\displaystyle f'(x) = \frac{{1 - x}}{{f(x)}} \Rightarrow f''(x) = \frac{{ - f{{(x)}^2} - {{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{{f^3}(x)}} < 0$
Άρα είναι κοίλη.Πως να καταλάβει κάποιος από εδώ ότι είναι κύκλος ; Θα μπορούσε να τη σχεδιάσει σαν παραβολή .
Μπορεί όμως να ζητηθεί ότι κάθε σημείο της καμπύλης ισαπέχει από το $\displaystyle {\rm K}(1,0)$
ή ότι η εφαπτομένη είναι κάθετη στην αντίστοιχη ακτίνα .

Γιώργο βγαίνει από την εξίσωση της καμπύλης και βασίζεται στην εφαρμογή του βιβλίου . Αλλού είναι το βασικό θέμα όπως το σημειώνει ο κ. Λάμπρου , ήθελες να είναι επί η συνάρτηση στο [0,1]

;

#14

Δεν χρειάζεται να δοθεί το σύνολο τιμών. Αφού το πεδίο ορισμού είναι το [0,2]

και $\displaystyle f(x) = \sqrt {2x - {x^2} + c} ,-1\le c \le 0,$

τότε για κάθε τιμή του

πλην του μηδενός, το

δεν θα μπορεί να πάρει τις τιμές 0, 2.

Αν πάλι

τότε η

μπορεί να πάρει

τιμές μεγαλύτερες του

που αντίκειται στην υπόθεση ότι το σύνολο αφίξεως είναι το [0,1].

Christos.N · #15

Εκεί Γιώργο δημιουργείται μια σύγχυση καθώς συμπλέκονται τα ερωτήματα α) και β) . Αν θέλουμε να γίνουν διακριτά θα πρέπει να δοθεί ως δεδομένο το σύνολο τιμών ειδάλλως θα πρέπει να γίνουν ένα συγχωνευμενο ερώτημα .

Με απλά υλικά (36)

Με απλά υλικά (36)

Re: Με απλά υλικά (36)

Re: Με απλά υλικά (36)

Re: Με απλά υλικά (36)

Re: Με απλά υλικά (36)

Re: Με απλά υλικά (36)

Re: Με απλά υλικά (36)

Re: Με απλά υλικά (36)

Re: Με απλά υλικά (36)

Re: Με απλά υλικά (36)

Re: Με απλά υλικά (36)

Re: Με απλά υλικά (36)

Re: Με απλά υλικά (36)

Re: Με απλά υλικά (36)

Re: Με απλά υλικά (36)

Μέλη σε σύνδεση