Διάμεσος από εμβαδόν

KARKAR · #1

: Διάμεσος από εμβαδόν.png (30.2 KiB) Προβλήθηκε 646 φορές

Οι εφαπτόμενες στα σημεία A , B

, της παραβολής με εξίσωση : y^2=4x

, τέμνονται στο σημείο

.

Αν : $(ASB)=27\sqrt{2}$ , υπολογίστε το μήκος της διαμέσου

του τριγώνου ASB

.

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Μαρ 07, 2022 8:16 pm Διάμεσος από εμβαδόν.pngΟι εφαπτόμενες στα σημεία , της παραβολής με εξίσωση : , τέμνονται στο σημείο .

Αν : $(ASB)=27\sqrt{2}$ , υπολογίστε το μήκος της διαμέσου του τριγώνου .

Ωραίο πρόβλημα Θανάση !

Να προσθέσω ένα ακόμα ερώτημα :

Με τα δεδομένα του προβλήματος να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου

Τα λέμε το βραδάκι αν δεν απαντηθεί

Τωρα πάω να πάρω τη μικρή μας από το σχολείο ( όχι βέβαια την κόρη μου αλλά την κόρη της

)

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Μαρ 07, 2022 8:16 pm Διάμεσος από εμβαδόν.pngΟι εφαπτόμενες στα σημεία , της παραβολής με εξίσωση : , τέμνονται στο σημείο .

Αν : $(ASB)=27\sqrt{2}$ , υπολογίστε το μήκος της διαμέσου του τριγώνου .

Έστω $S\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$ . Τότε η

είναι η πολική του

ως προς την παραβολή $c:{{y}^{2}}=4x$ και συνεπώς θα έχει εξίσωση: $AB:y{{y}_{0}}=2\left( x+{{x}_{0}} \right)$
Η λύση του συστήματος $\left\{ \begin{matrix} {{y}^{2}}=4x \\ y{{y}_{0}}=2\left( x+{{x}_{0}} \right) \\ \end{matrix} \right.$ θα δίνει τις συντεταγμένες των A,B

Έχουμε: $x=\dfrac{{{y}^{2}}}{4}$ οπότε $y{{y}_{0}}=2\left( \dfrac{{{y}^{2}}}{4}+{{x}_{0}} \right)\Leftrightarrow \ldots {{y}^{2}}-2{{y}_{0}}y+4{{x}_{0}}=0$ με ρίζες ${{y}_{A}},{{y}_{B}}$ με άθροισμα ${{y}_{A}}+{{y}_{B}}\overset{-\dfrac{\beta }{\alpha }}{\mathop{=}}\,2{{y}_{0}}$ και ${{y}_{A}}\cdot {{y}_{B}}\overset{-\dfrac{\gamma }{\alpha }}{\mathop{=}}\,4{{x}_{0}}$ οπότε και ${{x}_{A}}=\dfrac{y_{A}^{2}}{4},{{x}_{B}}=\dfrac{y_{B}^{2}}{4}$ και επειδή ${{y}_{M}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2}={{y}_{0}}={{S}_{y}}\Rightarrow SM\parallel {x}'x$
Προφανώς $\left( SAB \right)=2\left( SMA \right)=2\cdot \dfrac{1}{2}\left( SM \right)\cdot \dfrac{\left| {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right|}{2}=\left( SM \right)\cdot \dfrac{\left| {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right|}{2}:\left( 1 \right)$

Είναι ${{\left( {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right)}^{2}}={{\left( {{y}_{A}}+{{y}_{B}} \right)}^{2}}-4{{y}_{A}}{{y}_{B}}=4y_{0}^{2}-16{{x}_{0}}=4\left( y_{0}^{2}-4{{x}_{0}} \right)$ $\Rightarrow y_{0}^{2}-4{{x}_{0}}=\dfrac{{{\left| {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right|}^{2}}}{4}:\left( 2 \right)$ και
$\overrightarrow{SA}=\left( {{x}_{A}}-{{x}_{0}},{{y}_{A}}-{{y}_{0}} \right)=\left( \dfrac{y_{A}^{2}}{4}-{{x}_{0}},{{y}_{A}}-{{y}_{0}} \right)$ και $\overrightarrow{SB}=\left( {{x}_{B}}-{{x}_{0}},{{y}_{B}}-{{y}_{0}} \right)=\left( \dfrac{y_{B}^{2}}{4}-{{x}_{0}},{{y}_{B}}-{{y}_{0}} \right)$
Από $\left( SAB \right)=\dfrac{1}{2}\left| \det \left( \overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB} \right) \right|=\dfrac{1}{2}\left| \left| \begin{matrix} \dfrac{y_{A}^{2}}{4}-{{x}_{0}} & {{y}_{A}}-{{y}_{0}} \\ \dfrac{y_{B}^{2}}{4}-{{x}_{0}} & {{y}_{B}}-{{y}_{0}} \\ \end{matrix} \right| \right|=$
$\ldots \dfrac{1}{2}\left| {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right|\left| \dfrac{{{y}_{A}}{{y}_{B}}}{4}-\dfrac{{{y}_{0}}}{4}\left( {{y}_{A}}+{{y}_{B}} \right)+{{x}_{0}} \right|=\ldots \ldots \dfrac{1}{2}\left| {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right|\left| {{x}_{0}}-\dfrac{y_{0}^{2}}{2}+{{x}_{0}} \right|=$
$=\dfrac{1}{4}\left| {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right|\left| y_{0}^{2}-4{{x}_{0}} \right|\overset{\left( 2 \right)}{\mathop{=}}\,\dfrac{1}{16}{{\left| {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right|}^{3}}$ . Ετσι με $\left( SAB \right)=27\sqrt{2}$ θα έχουμε: $\dfrac{1}{16}{{\left| {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right|}^{3}}=27\sqrt{2}\Rightarrow \ldots \left| {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right|=6\sqrt{2}$ και από την $\left( 1 \right)$ προκύπτει ότι $\left( SM \right)=\dfrac{2\left( SAB \right)}{\left| {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right|}=\dfrac{54\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}=9$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Όσο για τον γεωμετρικό τόπο του

από τη σχέση $\left( 2 \right)$ θα έχουμε $y_{0}^{2}-4{{x}_{0}}=18\Rightarrow y_{0}^{2}=4\left( {{x}_{0}}+\dfrac{9}{2} \right)$ και πρόκειται προφανώς για παραβολή

Διάμεσος από εμβαδόν

Διάμεσος από εμβαδόν

Re: Διάμεσος από εμβαδόν

Re: Διάμεσος από εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση