Για εξάσκηση

M.S.Vovos · #1

Έστω οι πραγματικοί αριθμοί a,b

με $a\neq 0$ . Να εξετάσετε αν υπάρχει γεωμετρική πρόοδος $\left (a_{n} \right )$ λόγου $\lambda$ τέτοια, ώστε για κάθε φυσικό $n\geq 2$ να ισχύει $\displaystyle{a_{n}=a\left ( a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1} \right )+b}$ .

Φιλικά,
Μάριος

Christos.N · #2

M.S.Vovos έγραψε: Πέμ Μαρ 10, 2022 9:49 pm Έστω οι πραγματικοί αριθμοί με $a\neq 0$ . Να εξετάσετε αν υπάρχει γεωμετρική πρόοδος $\left (a_{n} \right )$ λόγου $\lambda$ τέτοια, ώστε για κάθε φυσικό $n\geq 2$ να ισχύει $\displaystyle{a_{n}=a\left ( a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1} \right )+b}$ .

έστω $a_n=a_1 \lambda^{n-1},~n\ge1$

τότε $\displaystyle{a_{n}=a\left ( a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1} \right )+b\Leftrightarrow a_1 \lambda^{n-1}=a a_1\frac{\lambda^{n-1}-1}{\lambda-1}+b \Leftrightarrow a_1 \lambda^{n-1}= \left(\frac{a}{\lambda-1}\right)a_1\lambda^{n-1}+b-a_1\frac{a}{\lambda-1} }$

άρα αν επιλέξουμε $a=\lambda-1$ και b=a_1

θα έχουμε γεωμετρική πρόοδο που ικανοποιεί την δοσμένη.

Για εξάσκηση

Για εξάσκηση

Re: Για εξάσκηση

Μέλη σε σύνδεση