Χωρίς σημειακές πράξεις

[KARKAR]

Με αφορμή την άρτι αναρτηθείσα εκπληκτική εργασία του Νίκου Ιωσηφίδη : "Σημειακές πράξεις":

Χωρίς σημειακές πράξεις.png (21.67 KiB) Προβλήθηκε 1066 φορές

Έξω από το τρίγωνο σχεδιάσαμε τα τετράγωνα και . Δείξτε ότι το

τετράπλευρο με κορυφές τα μέσα των είναι τετράγωνο .

[Mihalis_Lambrou]

Με αφορμή την άρτι αναρτηθείσα εκπληκτική εργασία του Νίκου Ιωσηφίδη : "Σημειακές πράξεις":

Χωρίς σημειακές πράξεις.pngΈξω από το τρίγωνο σχεδιάσαμε τα τετράγωνα και . Δείξτε ότι το

τετράπλευρο με κορυφές τα μέσα των είναι τετράγωνο .

Με Αναλυτική Γεωμετρία είναι απλό, και δεν χρειάζεται να σκεφτείς τίποτα ουσιαστικό πέρα από άμεσα και γνωστά βήματα.

Παίρνουμε άξονα των την και των το ύψος αοό το . Είναι τότε χωρίς βλάβη .

Εύκολα τώρα βρίσκουμε τις συντεταγμένες των κορυφών των δύο τετραγώνων. Είναι για το αριστερό και για το δεξί .

Οπότε τώρα εύκολα υπολογίζουμε τα μέσα . Είναι . Tώρα εύκολα διαπιστώνουμε ότι οι είναι ίσες και παράλληλες (μήκος ) κοι όμοια οι . Tέλος, οι πρώτες είναι κάθετες στις δεύτερες. Όλα είναι άμεσα.

[min##]

Να πω εδώ ότι τέτοιου είδους προβλήματα αντιμετωπίζονται κομψά με τη θεωρία που συναντά κανείς εδώ http://zacharyabel.com/papers/Mean-Geo_A07.pdf
Αν και πρόκειται για "σημειακές πράξεις" υπό άλλη οπτική, το αφήνω εδώ για όποιον ενδιαφέρεται

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Με αφορμή την άρτι αναρτηθείσα εκπληκτική εργασία του Νίκου Ιωσηφίδη : "Σημειακές πράξεις":

Χωρίς σημειακές πράξεις.pngΈξω από το τρίγωνο σχεδιάσαμε τα τετράγωνα και . Δείξτε ότι το

τετράπλευρο με κορυφές τα μέσα των είναι τετράγωνο .

Ας δούμε λοιπόν (χωρίς τις σημειακές πράξεις) μια αντιμετώπιση του προβλήματος που στηρίζεται στη θεωρία των μέσων (Μανώλης Γεωργακάκης).

χωρίς σημειακές πράξεις.png (33.42 KiB) Προβλήθηκε 931 φορές

Έστω τα συμμετρικά του ως προς τα αντίστοιχα. Τότε από το παραλληλόγραμμο (οι διαγώνιές του διχοτομούνται) θα είναι και ομοίως προκύπτει ότι , οπότε το είναι τετράγωνο και συνεπώς και το ομοιόθετό του με κέντρο ομοιοθεσίας το και λόγο θα είναι τετράγωνο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί .

[george visvikis]

Με αφορμή την άρτι αναρτηθείσα εκπληκτική εργασία του Νίκου Ιωσηφίδη : "Σημειακές πράξεις":

Χωρίς σημειακές πράξεις.pngΈξω από το τρίγωνο σχεδιάσαμε τα τετράγωνα και . Δείξτε ότι το

τετράπλευρο με κορυφές τα μέσα των είναι τετράγωνο .

Μία λύση με ύλη Α' Λυκείου.

Χωρίς σημειακές πράξεις.png (22.16 KiB) Προβλήθηκε 900 φορές

Αν είναι τα κέντρα των τετραγώνων αντίστοιχα, τότε τα τρίγωνα

(με αυτό τον προσανατολισμό) είναι ίσα. Άρα και (κάθετες στην ), οπότε

το είναι τετράγωνο.


Οι έμπειροι δεν χρειάζονται περαιτέρω επεξηγήσεις. Οι υπόλοιποι δεν έχουν παρά να το ζητήσουν.

[nickchalkida]

Από περιέργεια ύψωσα (εις) τα τετράγωνα. Το αποτέλεσμα κάτωθι αμφάς και προφιλ.
Η ορθογωνιότητα διατηρείται, το είναι ορθογώνιο αλλά όχι τετράγωνο.