Παράγωγος αντίστροφης

Nikos2022 · #1

Καλησπέρα σε όλους! Μια ερώτηση. Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ . Για να αποδείξουμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ είναι αρκετό να δείξουμε ότι η αντιστροφή της είναι παραγωγίσιμη ; Ή χρειάζεται και κάτι επιπλέον και αν ναι γιατί;
Σας ευχαριστώ
Νίκος- μαθητής Γ λυκείου

Tolaso J Kos · #2

Η

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ . Η συνάρτηση $f(x) = \left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{x} & , & x \geq 0 \\ -\sqrt[3]{-x} & , & x<0 \\ \end{matrix}\right.$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ ;

#3

Γενικά πρέπει να είμαστε προσεκτικοί σχετικά με την παράγωγο
και τη συνέχεια της αντίστροφης
Σχετικά : εδώ και εδώ

Christos.N · #4

Μεγάλη γκάμα παραδειγμάτων σε οποιαδήποτε γνησίως μονότονη συνάρτηση που η παραγωγός μηδενίζεται σε σημεία .

Nikos2022 · #5

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις
Νομίζω το πρόβλημα έγκειται στο γεγονός ότι η παραγωγος μπορεί να μηδενίζεται. Αν λοιπον η

είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με παραγωγο διάφορη του μηδενός, $\forall x\epsilon\mathbb{R}$ ξέρουμε πως και η αντιστροφη θα είναι παραγωγίσιμη; Και αν είναι χρειάζεται απόδειξη σε περίπτωση που συναντηθεί σε άσκηση;

stranger · #6

Nikos2022 έγραψε: Τρί Απρ 19, 2022 11:17 am Ευχαριστώ για τις απαντήσεις
Νομίζω το πρόβλημα έγκειται στο γεγονός ότι η παραγωγος μπορεί να μηδενίζεται. Αν λοιπον η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με παραγωγο διάφορη του μηδενός, $\forall x\epsilon\mathbb{R}$ ξέρουμε πως και η αντιστροφη θα είναι παραγωγίσιμη; Και αν είναι χρειάζεται απόδειξη σε περίπτωση που συναντηθεί σε άσκηση;

Ναι αυτό που λες είναι σωστό.
Καταρχήν η συνάρτηση είναι 1-1 από Rolle. Αυτό γιατί αν υπήρχαν δυο διαφορετικά σημεία με ίδια εικόνα τότε στο διάστημα που ορίζουν τα σημεία από Rolle θα υπήρχε ρίζα της f{'}

, το οποίο είναι άτοπο.
Υπάρχει το θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης στον λογισμό πολλών μεταβλητών που λέει ότι αν μια C^1

συνάρτηση από το $\mathbb{R}^n$ στο $\mathbb{R}^n$ έχει παράγωγο non-singular σε ένα σημείο(στη περίπτωση n=1

non singular σημαίνει ότι στο σημείο αυτό η παράγωγος δεν μηδενίζεται) τότε σε περιοχή αυτού του σημείου η συνάρτηση είναι αμφιδιαφόριση.
Άρα για n=1

το θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης αποδεικνύει άμεσα τον ισχυρισμό σου.

Παράγωγος αντίστροφης

Παράγωγος αντίστροφης

Re: Παράγωγος αντίστροφης

Re: Παράγωγος αντίστροφης

Re: Παράγωγος αντίστροφης

Re: Παράγωγος αντίστροφης

Re: Παράγωγος αντίστροφης

Μέλη σε σύνδεση