Πλευρικά όρια και συνέχεια παραγώγου

#1

Η συζήτηση εδώ εμπεριέχει έναν ισχυρισμό που δεν μου είναι γνωστός (και πιθανώς υπερβαίνει το επίπεδο των εξετάσεων, εξ ου και η μεταφορά):

Αν η

είναι παραγωγίσιμη στο x_0

και αν υπάρχουν τα $\lim_{x\rightarrow x_0^-}f'(x)$ και $\lim_{x\rightarrow x_0^+}f'(x)$ τότε η

είναι συνεχής στο x_0

.

[Να το πούμε αλλιώς, αν υπάρχουν τα f'(x_0)

, $\lim_{x\rightarrow x_0^-}f'(x)$ και $\lim_{x\rightarrow x_0^+}f'(x)$ , τότε είναι ίσα μεταξύ τους -- πολύ σημαντικό για να μην είναι γνωστό (αν ισχύει), και όχι άμεσα καταρρίψιμο (αν δεν ισχύει).]

#2

gbaloglou έγραψε: Τετ Απρ 20, 2022 1:17 pm Η συζήτηση εδώ εμπεριέχει έναν ισχυρισμό που δεν μου είναι γνωστός (και πιθανώς υπερβαίνει το επίπεδο των εξετάσεων, εξ ου και η μεταφορά):

Αν η είναι παραγωγίσιμη στο και αν υπάρχουν τα $\lim_{x\rightarrow x_0^-}f'(x)$ και $\lim_{x\rightarrow x_0^+}f'(x)$ τότε η είναι συνεχής στο .

[Να το πούμε αλλιώς, αν υπάρχουν τα , $\lim_{x\rightarrow x_0^-}f'(x)$ και $\lim_{x\rightarrow x_0^+}f'(x)$ , τότε είναι ίσα μεταξύ τους -- πολύ σημαντικό για να μην είναι γνωστό (αν ισχύει), και όχι άμεσα καταρρίψιμο (αν δεν ισχύει).]

Γιώργο, είναι άμεσο από l' Hospital, περίπτωση $\frac {0}{0}$ .

Έχουμε (με πλευρικό όριο) εξ υποθέσεως ότι το $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_0^-}\dfrac {(f(x)-f(x_0))'}{(x-x_0)'}}= \lim_{x\rightarrow x_0^-}\dfrac {f'(x)}{1}$ υπάρχει και άρα $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0^-}\dfrac { f(x)- f(x_0)}{x-x_0} =^{\frac {0}{0}} \lim_{x\rightarrow x_0^-} f'(x)}}$ .

Όμως το αριστερό όριο ισούται εξ υποθέσεως f'(x_0)

.

Συμπεραίνουμε ότι $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_0^-}f'(x)= f'(x_0)}$

Όμοια και για το δεξί πλευρικό όριο.

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Απρ 20, 2022 2:50 pm
gbaloglou έγραψε: Τετ Απρ 20, 2022 1:17 pm Η συζήτηση εδώ εμπεριέχει έναν ισχυρισμό που δεν μου είναι γνωστός (και πιθανώς υπερβαίνει το επίπεδο των εξετάσεων, εξ ου και η μεταφορά):

Αν η είναι παραγωγίσιμη στο και αν υπάρχουν τα $\lim_{x\rightarrow x_0^-}f'(x)$ και $\lim_{x\rightarrow x_0^+}f'(x)$ τότε η είναι συνεχής στο .

[Να το πούμε αλλιώς, αν υπάρχουν τα , $\lim_{x\rightarrow x_0^-}f'(x)$ και $\lim_{x\rightarrow x_0^+}f'(x)$ , τότε είναι ίσα μεταξύ τους -- πολύ σημαντικό για να μην είναι γνωστό (αν ισχύει), και όχι άμεσα καταρρίψιμο (αν δεν ισχύει).]
Γιώργο, είναι άμεσο από l' Hospital, περίπτωση $\frac {0}{0}$ .

Έχουμε (με πλευρικό όριο) εξ υποθέσεως ότι το $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_0^-}\dfrac {(f(x)-f(x_0))'}{(x-x_0)'}}= \lim_{x\rightarrow x_0^-}\dfrac {f'(x)}{1}$ υπάρχει και άρα $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0^-}\dfrac { f(x)- f(x_0)}{x-x_0} =^{\frac {0}{0}} \lim_{x\rightarrow x_0^-} f'(x)}}$ .

Όμως το αριστερό όριο ισούται εξ υποθέσεως .

Συμπεραίνουμε ότι $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_0^-}f'(x)= f'(x_0)}$

Όμοια και για το δεξί πλευρικό όριο.

Μιχάλη όντως, το θέμα αντιμετωπίζεται εύκολα με 'αντίστροφη' εφαρμογή του Κανόνος l' Hospital! Παρατηρώ μάλιστα ότι κάτι ανάλογο είχε κάνει και ο abgd (Κώστας Σ.), ειδικά έπειτα και από την διόρθωση του, εδώ ... και το τελικό συμπέρασμα είναι: αν υπάρχουν τα πλευρικά όρια της παραγώγου στο x_0

και είναι άνισα, τότε δεν υπάρχει η παράγωγος στο x_0

.

[Ίσως ήμουν κάπως προκατειλημμένος κατά μιας τέτοιας 'θεωρητικής' εφαρμογής l' Hospital (και εκεί και εδώ) λόγω της πιθανότητας να μην ισχύουν οι απαιτούμενες συνθήκες ή να προκύπτει φαύλος κύκλος^ ξαναβλέποντας όμως με περισσότερη υπομονή τα σχετικά με τον Κανόνα συμφωνώ ότι τα παραπάνω είναι έγκυρα και ασφαλή 100%.]

stranger · #4

gbaloglou έγραψε: Τετ Απρ 20, 2022 9:48 pm Μιχάλη όντως, το θέμα αντιμετωπίζεται εύκολα με 'αντίστροφη' εφαρμογή του Κανόνος l' Hospital!

Ένα σχόλιο μόνο πάνω σε αυτό.
Δεν πρόκειται για αντίστροφη εφαρμογή του Del Hospital αλλά για το μοναδικό επιχείρημα του θεωρήματος Del Hospital.
Πρώτα δείχνεις ότι το όριο της $\frac{f{'}(x)}{g{'}(x)}$ υπάρχει και μετά έπεται ότι το όριο της $\frac{f(x)}{g(x)}$ υπάρχει και είναι ίσο με το προηγούμενο.
Αυτή είναι η σωστή εφαρμογή του Del Hospital.

#5

stranger έγραψε: Πέμ Απρ 21, 2022 4:36 pm
gbaloglou έγραψε: Τετ Απρ 20, 2022 9:48 pm Μιχάλη όντως, το θέμα αντιμετωπίζεται εύκολα με 'αντίστροφη' εφαρμογή του Κανόνος l' Hospital!
Ένα σχόλιο μόνο πάνω σε αυτό.
Δεν πρόκειται για αντίστροφη εφαρμογή του Del Hospital αλλά για το μοναδικό επιχείρημα του θεωρήματος Del Hospital.
Πρώτα δείχνεις ότι το όριο της $\frac{f{'}(x)}{g{'}(x)}$ υπάρχει και μετά έπεται ότι το όριο της $\frac{f(x)}{g(x)}$ υπάρχει και είναι ίσο με το προηγούμενο.
Αυτή είναι η σωστή εφαρμογή του Del Hospital.

Την λέξη αντίστροφη, ο Γιώργος την έχει βάλει σε εισαγωγικά. Αυτό που καταλαβαίνω ότι θέλει να πει είναι ότι συνήθως στον κανόνα l' Hospital ξέρουμε πόσο είναι το όριο του $\lim \frac{f{'}(x)}{g{'}(x)}$ και από εκεί συμπεραίνουμε την τιμή του $\lim \frac{f(x)}{g(x)}$ , ενώ στο παραπάνω πήραμε αντίστροφη πορεία. Ότι δηλαδή από την τιμή του δεύτερου, συμπεράναμε την τιμή του πρώτου (του οποίου ξέραμε μόνο την ύπαρξη).

stranger · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Απρ 21, 2022 7:05 pm
Την λέξη αντίστροφη, ο Γιώργος την έχει βάλει σε εισαγωγικά. Αυτό που καταλαβαίνω ότι θέλει να πει είναι ότι συνήθως στον κανόνα l' Hospital ξέρουμε πόσο είναι το όριο του $\lim \frac{f{'}(x)}{g{'}(x)}$ και από εκεί συμπεραίνουμε την τιμή του $\lim \frac{f(x)}{g(x)}$ , ενώ στο παραπάνω πήραμε αντίστροφη πορεία. Ότι δηλαδή από την τιμή του δεύτερου, συμπεράναμε την τιμή του πρώτου (του οποίου ξέραμε μόνο την ύπαρξη).

Ο λόγος που έκανα το σχόλιο είναι γιατί πολλοί ξεκινάνε από το όριο μιας συνάρτησης και παραγωγίζουν αριθμητή και παρονομαστή όσες φορές θέλουν και μετά καταλήγουν σε ένα όριο γνωστό και εκεί τελειώνουν.
Βέβαια το αποτέλεσμα που καταλήγουν είναι πάντα σωστό αλλά ο λόγος που είναι σωστό έπεται από το ότι το τελικό όριο υπάρχει.
Απλά είναι καλύτερο να ακολουθήσουν την αντίστροφη πορεία στη δικαιολόγησή του για να είναι απόλυτα σωστό.

Πλευρικά όρια και συνέχεια παραγώγου

Πλευρικά όρια και συνέχεια παραγώγου

Re: Πλευρικά όρια και συνέχεια παραγώγου

Re: Πλευρικά όρια και συνέχεια παραγώγου

Re: Πλευρικά όρια και συνέχεια παραγώγου

Re: Πλευρικά όρια και συνέχεια παραγώγου

Re: Πλευρικά όρια και συνέχεια παραγώγου

Μέλη σε σύνδεση