Μονοτονία και κυρτοτητα

[Nikos2022]

Καλησπέρα! Έχω δύο ερωτήσεις σχετικά τη μονοτονία και τη κυρτότητα. 1) στο σχολικό αναφέρεται η προταση : έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο Δ. Αν σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τοτε είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Ωστόσο αν έχουμε μια συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο με για κάθε (όχι παραγωγίσιμη στο xo) πως μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για τη μονοτονία της στο Δ σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα ;

Σε παρόμοιο βεληνεκές κυμαίνεται και η δεύτερη ερώτηση μου. 2) Επίσης στο σχολικό αναφέρεται η προταση: Έστω f συνεχής στο Δ και 2 φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του. Αν στο εσωτερικό του Δ τοτε η f ειναι κυρτή στο Δ. Αν πάλι έχουμε μια συνάρτηση συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο ( όχι παραγωγίσιμη στο xo) και δίνεται ότι , πως μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για τη κυρτότητα;
Σας ευχαριστώ,
Νίκος, μαθητής Γ Λυκείου.

[Mihalis_Lambrou]

Καλησπέρα! Έχω δύο ερωτήσεις σχετικά τη μονοτονία και τη κυρτότητα. 1) στο σχολικό αναφέρεται η προταση : έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο Δ. Αν σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τοτε είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Ωστόσο αν έχουμε μια συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο με για κάθε (όχι παραγωγίσιμη στο xo) πως μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για τη μονοτονία της στο Δ σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα ;

Σε παρόμοιο βεληνεκές κυμαίνεται και η δεύτερη ερώτηση μου. 2) Επίσης στο σχολικό αναφέρεται η προταση: Έστω f συνεχής στο Δ και 2 φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του. Αν στο εσωτερικό του Δ τοτε η f ειναι κυρτή στο Δ. Αν πάλι έχουμε μια συνάρτηση συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο ( όχι παραγωγίσιμη στο xo) και δίνεται ότι , πως μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για τη κυρτότητα;
Σας ευχαριστώ,
Νίκος, μαθητής Γ Λυκείου.

Aς πάρουμε το πρώτο.

Υπόδειξη: Η μονοτονία σε καθένα από τα δεν έχει πρόβλημα. Τώρα, π.χ. για δείξε . Συνέχισε.

[stranger]

Καλησπέρα! Έχω δύο ερωτήσεις σχετικά τη μονοτονία και τη κυρτότητα. 1) στο σχολικό αναφέρεται η προταση : έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο Δ. Αν σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τοτε είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Ωστόσο αν έχουμε μια συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο με για κάθε (όχι παραγωγίσιμη στο xo) πως μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για τη μονοτονία της στο Δ σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα ;

Σε παρόμοιο βεληνεκές κυμαίνεται και η δεύτερη ερώτηση μου. 2) Επίσης στο σχολικό αναφέρεται η προταση: Έστω f συνεχής στο Δ και 2 φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του. Αν στο εσωτερικό του Δ τοτε η f ειναι κυρτή στο Δ. Αν πάλι έχουμε μια συνάρτηση συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο ( όχι παραγωγίσιμη στο xo) και δίνεται ότι , πως μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για τη κυρτότητα;
Σας ευχαριστώ,
Νίκος, μαθητής Γ Λυκείου.

Το δεύτερο ερώτημα είναι ουσιαστικά το πρώτο(γιατί;).
Οπότε απαντάω μόνο στο πρώτο.
Το κλειδί είναι ότι χρειάζεται να είναι η παράγωγος θετική στο εσωτερικό του και το συμπέρασμα ισχύει σε όλο το .
Οπότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στα και , που είναι ισοδύναμο με το να είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το .

[Nikos2022]

Καλησπέρα! Έχω δύο ερωτήσεις σχετικά τη μονοτονία και τη κυρτότητα. 1) στο σχολικό αναφέρεται η προταση : έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο Δ. Αν σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τοτε είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Ωστόσο αν έχουμε μια συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο με για κάθε (όχι παραγωγίσιμη στο xo) πως μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για τη μονοτονία της στο Δ σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα ;

Σε παρόμοιο βεληνεκές κυμαίνεται και η δεύτερη ερώτηση μου. 2) Επίσης στο σχολικό αναφέρεται η προταση: Έστω f συνεχής στο Δ και 2 φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του. Αν στο εσωτερικό του Δ τοτε η f ειναι κυρτή στο Δ. Αν πάλι έχουμε μια συνάρτηση συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο ( όχι παραγωγίσιμη στο xo) και δίνεται ότι , πως μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για τη κυρτότητα;
Σας ευχαριστώ,
Νίκος, μαθητής Γ Λυκείου.

Aς πάρουμε το πρώτο.

Υπόδειξη: Η μονοτονία σε καθένα από τα δεν έχει πρόβλημα. Τώρα, π.χ. για δείξε . Συνέχισε.

Έστω τότε αφού η f είναι γν. αύξουσα σε καθένα απ' τα διαστήματα ισχύει . Είναι προφανές πως και αφού πράγματι είναι γν. αύξουσα στο Δ.

[Nikos2022]

Καλησπέρα! Έχω δύο ερωτήσεις σχετικά τη μονοτονία και τη κυρτότητα. 1) στο σχολικό αναφέρεται η προταση : έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο Δ. Αν σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τοτε είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Ωστόσο αν έχουμε μια συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο με για κάθε (όχι παραγωγίσιμη στο xo) πως μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για τη μονοτονία της στο Δ σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα ;

Σε παρόμοιο βεληνεκές κυμαίνεται και η δεύτερη ερώτηση μου. 2) Επίσης στο σχολικό αναφέρεται η προταση: Έστω f συνεχής στο Δ και 2 φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του. Αν στο εσωτερικό του Δ τοτε η f ειναι κυρτή στο Δ. Αν πάλι έχουμε μια συνάρτηση συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο ( όχι παραγωγίσιμη στο xo) και δίνεται ότι , πως μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για τη κυρτότητα;
Σας ευχαριστώ,
Νίκος, μαθητής Γ Λυκείου.

Το δεύτερο ερώτημα είναι ουσιαστικά το πρώτο(γιατί;).
Οπότε απαντάω μόνο στο πρώτο.
Το κλειδί είναι ότι χρειάζεται να είναι η παράγωγος θετική στο εσωτερικό του και το συμπέρασμα ισχύει σε όλο το .
Οπότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στα και , που είναι ισοδύναμο με το να είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το .

Σας ευχαριστώ πολύ.
Και στη δεύτερη περίπτωση είναι κυρτή στα 2 διαστηματα, αλλά δεν ήξερα πως μπορούσαμε να συμπεράνουμε τη κυρτότητα και για την ένωση.

[Λάμπρος Κατσάπας]

Έστω f συνεχής στο Δ και 2 φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του. Αν στο εσωτερικό του Δ τοτε η f ειναι κυρτή στο Δ. Αν πάλι έχουμε μια συνάρτηση συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο ( όχι παραγωγίσιμη στο xo) και δίνεται ότι , πως μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για τη κυρτότητα;
Σας ευχαριστώ,
Νίκος, μαθητής Γ Λυκείου.

Σου έχω απαντήσει και εδώ
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 40#p346740

αλλά δεν φαίνεται να διαβάζεις αυτά που σου γράφουμε. Κανένα συμπέρασμα δεν βγαίνει.

Πάρε την . Είναι συνεχής με Είναι κυρτή;

[stranger]

Έστω f συνεχής στο Δ και 2 φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του. Αν στο εσωτερικό του Δ τοτε η f ειναι κυρτή στο Δ. Αν πάλι έχουμε μια συνάρτηση συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο ( όχι παραγωγίσιμη στο xo) και δίνεται ότι , πως μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για τη κυρτότητα;
Σας ευχαριστώ,
Νίκος, μαθητής Γ Λυκείου.

Σου έχω απαντήσει και εδώ
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 40#p346740

αλλά δεν φαίνεται να διαβάζεις αυτά που σου γράφουμε. Κανένα συμπέρασμα δεν βγαίνει.

Πάρε την . Είναι συνεχής με Είναι κυρτή;

Νομίζω ότι είναι από κάποια εφαρμογή που δεν μεταφέρθηκε σωστά η εκφώνηση. Νομίζω ότι η εκφώνηση θα λέει ότι είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο στο .
Έτσι κολλάει το πρώτο ερώτημα με το δεύτερο.

[Nikos2022]

Έστω f συνεχής στο Δ και 2 φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του. Αν στο εσωτερικό του Δ τοτε η f ειναι κυρτή στο Δ. Αν πάλι έχουμε μια συνάρτηση συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο ( όχι παραγωγίσιμη στο xo) και δίνεται ότι , πως μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για τη κυρτότητα;
Σας ευχαριστώ,
Νίκος, μαθητής Γ Λυκείου.

Σου έχω απαντήσει και εδώ
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 40#p346740

αλλά δεν φαίνεται να διαβάζεις αυτά που σου γράφουμε. Κανένα συμπέρασμα δεν βγαίνει.

Πάρε την . Είναι συνεχής με Είναι κυρτή;

Διαβάζω πολύ καλά αυτά που γράφετε. Ο @stranger μου απαντησε πως το δεύτερο ερώτημα είναι ισοδύναμο με το πρώτο για αυτό και το ξαναρωτησα. Το θέμα αυτό είναι απλώς η γενίκευση της περίπτωσης που παραθεσατε, έτσι ώστε να καταλάβω τι ισχύει ακριβώς.
Ευχαριστώ

[stranger]

Έστω f συνεχής στο Δ και 2 φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του. Αν στο εσωτερικό του Δ τοτε η f ειναι κυρτή στο Δ. Αν πάλι έχουμε μια συνάρτηση συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο ( όχι παραγωγίσιμη στο xo) και δίνεται ότι , πως μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για τη κυρτότητα;
Σας ευχαριστώ,
Νίκος, μαθητής Γ Λυκείου.

Σου έχω απαντήσει και εδώ
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 40#p346740

αλλά δεν φαίνεται να διαβάζεις αυτά που σου γράφουμε. Κανένα συμπέρασμα δεν βγαίνει.

Πάρε την . Είναι συνεχής με Είναι κυρτή;

Διαβάζω πολύ καλά αυτά που γράφετε. Ο @stranger μου απαντησε πως το δεύτερο ερώτημα είναι ισοδύναμο με το πρώτο για αυτό και το ξαναρωτησα. Το θέμα αυτό είναι απλώς η γενίκευση της περίπτωσης που παραθεσατε, έτσι ώστε να καταλάβω τι ισχύει ακριβώς.
Ευχαριστώ

Η απάντησή μου αναφέρεται στην περίπτωση που η συνάρτηση έχει συνεχή παράγωγο στο αλλά δεν είναι κατ'ανάγκη δυο φορές παραγωγίσιμη στο . Νομίζω ότι εκεί που γράφεις ότι δεν είναι παραγωγίσιμη στο το σωστό θα ήταν ότι δεν είναι κατ'ανάγκην δυο φορές παραγωγίσιμη στο .
Έτσι και αλλιώς δεν έχει νόημα να μιλήσουμε για κυρτότητα ότι μια συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη(στα σχολικά μαθηματικά εννοώ).

[Λάμπρος Κατσάπας]

Έστω f συνεχής στο Δ και 2 φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του. Αν στο εσωτερικό του Δ τοτε η f ειναι κυρτή στο Δ. Αν πάλι έχουμε μια συνάρτηση συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο ( όχι παραγωγίσιμη στο xo) και δίνεται ότι , πως μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για τη κυρτότητα;
Σας ευχαριστώ,
Νίκος, μαθητής Γ Λυκείου.

Σου έχω απαντήσει και εδώ
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 40#p346740

αλλά δεν φαίνεται να διαβάζεις αυτά που σου γράφουμε. Κανένα συμπέρασμα δεν βγαίνει.

Πάρε την . Είναι συνεχής με Είναι κυρτή;

Διαβάζω πολύ καλά αυτά που γράφετε. Ο @stranger μου απαντησε πως το δεύτερο ερώτημα είναι ισοδύναμο με το πρώτο για αυτό και το ξαναρωτησα. Το θέμα αυτό είναι απλώς η γενίκευση της περίπτωσης που παραθεσατε, έτσι ώστε να καταλάβω τι ισχύει ακριβώς.
Ευχαριστώ

Ας βάλουμε μια σειρά. Διάβασε προσεκτικά τον ορισμό της κυρτής συνάρτησης του σχολικού σου. Το σχολικό σου βιβλίο ορίζει την κυρτότητα σε διάστημα για παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο εσωτερικό. Εφόσον λες ότι η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη σε ένα εσωτερικό σημείο τι νόημα έχει να πεις ότι είναι ή δεν είναι κυρτή στο διάστημα; Αν παρακάμψουμε αυτό το σημείο σχεδίασε αυτή που σου έγραψα και δες αν μπορείς να την χαρακτηρίσεις κυρτή έχοντας καταλάβει βέβαια τι σημαίνει γεωμετρικά κυρτή συνάρτηση.

[apotin]

Δες και το θεώρημα στη σελίδα του σχολικού βιβλίου.

[Nikos2022]

Έστω f συνεχής στο Δ και 2 φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του. Αν στο εσωτερικό του Δ τοτε η f ειναι κυρτή στο Δ. Αν πάλι έχουμε μια συνάρτηση συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο ( όχι παραγωγίσιμη στο xo) και δίνεται ότι , πως μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για τη κυρτότητα;
Σας ευχαριστώ,
Νίκος, μαθητής Γ Λυκείου.

Σου έχω απαντήσει και εδώ
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 40#p346740

αλλά δεν φαίνεται να διαβάζεις αυτά που σου γράφουμε. Κανένα συμπέρασμα δεν βγαίνει.

Πάρε την . Είναι συνεχής με Είναι κυρτή;

Διαβάζω πολύ καλά αυτά που γράφετε. Ο @stranger μου απαντησε πως το δεύτερο ερώτημα είναι ισοδύναμο με το πρώτο για αυτό και το ξαναρωτησα. Το θέμα αυτό είναι απλώς η γενίκευση της περίπτωσης που παραθεσατε, έτσι ώστε να καταλάβω τι ισχύει ακριβώς.
Ευχαριστώ

Η απάντησή μου αναφέρεται στην περίπτωση που η συνάρτηση έχει συνεχή παράγωγο στο αλλά δεν είναι κατ'ανάγκη δυο φορές παραγωγίσιμη στο . Νομίζω ότι εκεί που γράφεις ότι δεν είναι παραγωγίσιμη στο το σωστό θα ήταν ότι δεν είναι κατ'ανάγκην δυο φορές παραγωγίσιμη στο .
Έτσι και αλλιώς δεν έχει νόημα να μιλήσουμε για κυρτότητα ότι μια συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη(στα σχολικά μαθηματικά εννοώ).

Στη περίπτωση που είχα στο νου μου όντως η παραγωγος δεν ήταν συνεχής στο , αλλά ούτε παραγωγίσιμη εκεί.

Έστω f συνεχής στο Δ και 2 φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του. Αν στο εσωτερικό του Δ τοτε η f ειναι κυρτή στο Δ. Αν πάλι έχουμε μια συνάρτηση συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο ( όχι παραγωγίσιμη στο xo) και δίνεται ότι , πως μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για τη κυρτότητα;
Σας ευχαριστώ,
Νίκος, μαθητής Γ Λυκείου.

Σου έχω απαντήσει και εδώ
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 40#p346740

αλλά δεν φαίνεται να διαβάζεις αυτά που σου γράφουμε. Κανένα συμπέρασμα δεν βγαίνει.

Πάρε την . Είναι συνεχής με Είναι κυρτή;

Διαβάζω πολύ καλά αυτά που γράφετε. Ο @stranger μου απαντησε πως το δεύτερο ερώτημα είναι ισοδύναμο με το πρώτο για αυτό και το ξαναρωτησα. Το θέμα αυτό είναι απλώς η γενίκευση της περίπτωσης που παραθεσατε, έτσι ώστε να καταλάβω τι ισχύει ακριβώς.
Ευχαριστώ

Ας βάλουμε μια σειρά. Διάβασε προσεκτικά τον ορισμό της κυρτής συνάρτησης του σχολικού σου. Το σχολικό σου βιβλίο ορίζει την κυρτότητα σε διάστημα για παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο εσωτερικό. Εφόσον λες ότι η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη σε ένα εσωτερικό σημείο τι νόημα έχει να πεις ότι είναι ή δεν είναι κυρτή στο διάστημα; Αν παρακάμψουμε αυτό το σημείο σχεδίασε αυτή που σου έγραψα και δες αν μπορείς να την χαρακτηρίσεις κυρτή έχοντας καταλάβει βέβαια τι σημαίνει γεωμετρικά κυρτή συνάρτηση.

Πρέπει να έγινε λάθος στην λύση της άσκησης τότε. Έχετε δίκιο. Ωστόσο μπορούμε να πούμε πως είναι κυρτή στα 2 διαστηματα ξεχωριστά ;

[Λάμπρος Κατσάπας]

Ωστόσο μπορούμε να πούμε πως είναι κυρτή στα 2 διαστηματα ξεχωριστά ;

Βεβαίως. Κυρτή στο και κυρτή στο