Ακρότατα

KARKAR · #1

$\bigstar$ Α) Βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων : $g(x)=\dfrac{2x}{x^2+2x+1}$ και : $h(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2+2x+1}$ .

Β) Βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{5x^2+6x+5}{(x+1)^2}$ , φυσικά χωρίς χρήση παραγώγων .

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Απρ 30, 2022 8:21 pm $\bigstar$ Α) Βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων : $g(x)=\dfrac{2x}{x^2+2x+1}$ και : $h(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2+2x+1}$ .

Β) Βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{5x^2+6x+5}{(x+1)^2}$ , φυσικά χωρίς χρήση παραγώγων .

To κάνω χωρίς παραγώγους (και στο πρώτο μέρος).

$g(x)=\dfrac{2x}{x^2+2x+1}=\dfrac{2(x+1)-2}{(x+1)^2}= \dfrac{2}{x+1}- \dfrac{2}{(x+1)^2}= 2y-2y^2= \dfrac {1}{2}-2\left ( \dfrac {1}{2} -y \right )^2 \le \dfrac {1}{2}$ , με ισότητα όταν y=1/2

, δηλαδή

.

$h(x)= 1-g(x)= \dfrac {1}{2}+ 2\left ( \dfrac {1}{2} -y \right )^2 \ge \dfrac {1}{2}$ , με ισότητα όταν y=1/2

, δηλαδή

.

β) $f(x) = 5h(x)+3g(x) = 5(1-g(x)) +3g(x)= 5-2g(x) = 5 -2(2y-2y^2) = 4+ 4\left ( \dfrac {1}{2} -y \right )^2 \ge 4$ , και λοιπά.

#3

KARKAR έγραψε: Σάβ Απρ 30, 2022 8:21 pm $\bigstar$ Α) Βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων : $g(x)=\dfrac{2x}{x^2+2x+1}$ και : $h(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2+2x+1}$ .

Β) Βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{5x^2+6x+5}{(x+1)^2}$ , φυσικά χωρίς χρήση παραγώγων .

Αλλιώς για το Α)

$\displaystyle g(x) = y \Leftrightarrow y{x^2} + 2(y - 1)x + y = 0.$ Για y=0

είναι

Έστω $y\ne 0.$ Τότε για να έχει λύση η δευτεροβάθμια, ως προς

εξίσωση θα πρέπει:

$\displaystyle \Delta \geqslant 0 \Leftrightarrow 4{(y - 1)^2} - 4{y^2} \geqslant 0 \Leftrightarrow - 4(2y - 1) \geqslant 0 \Leftrightarrow y \leqslant \frac{1}{2},$

Έχουμε λοιπόν μέγιστο $\dfrac{1}{2}$ που επιτυγχάνεται όταν x=1.

Με την ίδια μέθοδο αντιμετωπίζεται και η h(x)

όπου βρίσκουμε ότι έχει ελάχιστο με τις ίδιες τιμές.

Β) (χωρίς τη χρήση του πρώτου ερωτήματος).

$\displaystyle f(x) = t \Leftrightarrow (t - 5){x^2} + 2(t - 3)x + (t - 5) = 0,$ όπου για t=5

είναι

Για $t\ne 5,$ είναι $\displaystyle \Delta \geqslant 0 \Leftrightarrow 4{(t - 3)^2} - 4{(t - 5)^2} \geqslant 0 \Leftrightarrow t \geqslant 4,$ άρα έχουμε ελάχιστο

για

abgd · #4

KARKAR έγραψε: Σάβ Απρ 30, 2022 8:21 pm $\bigstar$ Α) Βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων : $g(x)=\dfrac{2x}{x^2+2x+1}$ και : $h(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2+2x+1}$ .

Β) Βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{5x^2+6x+5}{(x+1)^2}$ , φυσικά χωρίς χρήση παραγώγων .

Θα μπορούσαμε να βρούμε το ελάχιστο της

και το μέγιστο της

με τον παρακάτω τρόπο. Θα πρέπει όμως να δικαιολογήσουμε γιατί δεν έχει η

μέγιστο και η

ελάχιστο, το οποίο ουσιαστικά μας οδηγεί στην απάντηση που έδωσε ο Γιώργος.

Το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων h, g

είναι το $A=\mathbb{R}-\{-1\}$ .

$\displaystyle{ \forall x \in A}$ ισχύουν: $\displaystyle{h(x)+g(x)=1}$ και $\displaystyle{ h(x)\geq g(x)}$ με την ισότητα να ισχύει για $\displaystyle{ x=1}$

Προσθέτοντας και στα δύο μέλη της ανισότητας το $\displaystyle{ g(x)}$ έχουμε: $\displaystyle{ g(x) \leq \frac{1}{2}=g(1), \ \ \forall x \in A}$

Προσθέτοντας και στα δύο μέλη της ανισότητας το $\displaystyle{ h(x)}$ έχουμε: $\displaystyle{ h(x) \geq \frac{1}{2}=h(1), \ \ \forall x \in A}$

#5

Για λόγους πληρότητας και μόνο περιγράφω και μία ακόμα "αλγεβρική" τεχνική από το βαθύ παρελθόν.

Για $\displaystyle x \in R - \left\{ { - 1,0} \right\},\;\;\frac{1}{{g\left( x \right)}} = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{2x}} = \frac{1}{2}\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + 1$

Επειδή $\displaystyle x \cdot \frac{1}{x} = 1$ , σταθερό, το άθροισμά τους έχει ελάχιστο όταν $x = \frac{1}{x} \Leftrightarrow x = 1$

Οπότε η g(x)

παρουσιάζει μέγιστο, όταν x = 1

, το $g\left( 1 \right) = \frac{1}{2}$ .

Είναι $\displaystyle g\left( 0 \right) = 0 < \frac{1}{2} = g\left( 1 \right)$ . Άρα η τιμή $\frac{1}{2}$ είναι το μέγιστο της

στο Π.Ο. της.

Επειδή $\displaystyle h\left( x \right) = 1 - g\left( x \right)$ , η h(x)

παρουσιάζει για την ίδια τιμή του

ελάχιστο, ίσο με $\displaystyle \frac{1}{2}$ .

Ακρότατα

Ακρότατα

Re: Ακρότατα

Re: Ακρότατα

Re: Ακρότατα

Re: Ακρότατα

Μέλη σε σύνδεση