Πιθανότητες και σκραμπλ

[george visvikis]

Ένας ανιψιός μου που μένει μόνιμα στη Γαλλία και παίζει σκραμπλ στο εθνικό πρωτάθλημα της χώρας, μου έθεσε
ένα πρόβλημα στο οποίο δεν έχω απάντηση και δεν ξέρω καν αν υπάρχει απάντηση. Το πρόβλημα είναι το εξής:

Στο σκραμπλ υπάρχει ένα σακούλι με 102 γράμματα εκ των οποίων δύο είναι μπαλαντέρ. Παίζουν δύο παίκτες.

Ο πρώτος τραβάει 7 γράμματα και στη συνέχεια ο δεύτερος τραβάει άλλα 7 από τα εναπομείναντα γράμματα. Το

ερώτημα είναι αν αυτός που παίζει πρώτος ευνοείται στο τράβηγμα των μπαλαντέρ ή αν έχουν ίσες πιθανότητες.

[gbdalako]

Φυσικά υπάρχει απάντηση μιας και είμαστε σε πεπερασμένο δειγματικό χώρο με καλά ορισμένο γεγονός.
Όπως υπέδειξε ο Μιχάλης αρκεί να βρούμε τις πιθανότητες του καθενός να μην πάρει μπαλαντέρ.
Για τον παίκτη Α έχω και για τον Β στην περίπτωση που ο Α "αστόχησε".
Ο Β προσωρινά ευνοοείται αλλά...
Προσθέτοντας την πιθανότητα "αστοχίας" του Β, όταν ο Α βρήκε 1 ή 2 μπαλαντέρ... κτλ...
Αφήνεται ως άσκηση... Επίσης πιστεύω ότι ο Α γενικά ευνοείται.

ΥΓ: Θέλω άλλα 10 λεπτά να το ελέγξω... ελπίζω να μην έχασα κάτι στα παραπάνω
ΥΓ2: Άλλαξα γνώμη... πολύ ωραίο πρόβλημα Γιώργο... βέβαια δεν θάπρεπε να τα λύνουμε εμείς αλλά οι μαθητές. Μάλλον το Σκραμπλ είναι "δίκαιο". Έχω ότι η πιθανότητα P(A>B)=P(B>A) και είναι ... αν και ίσως να έχω κάνει λαθάκι. Σταματώ εδώ να το χαρούν κι άλλοι συνάδελφοι
ΥΓ3: Καλή Πρωτομαγιά... είμαι εξωτερικό και εδώ δεν γιορτάζεται

[Mihalis_Lambrou]

Έσβησα την αρχική μου απάντηση γιατί δεν μέτραγα σωστά τις εκδοχές.

Μία περίπτωση που πρέπει να προσμετρηθεί, πέρα από τις πιο προφανείς, είναι όταν ο πρώτος παίκτης πιάσει δύο μπαλαντέρ. Σε αυτή την περίπτωση ο δεύτερος έχει πιθανότητα να πιάσει μπαλαντέρ.

[gbdalako]

Μάλλον είναι το ίδιο και για τους δύο. Έχω ότι η πιθανότητα να έχει κάποιος τα 2 μπαλαντέρ είναι ενώ να έχει μόνο το ένα και ο άλλος κανένα είναι .

ΥΓ: Ένα τελευταίο σχόλιο ότι το δίκαιο του παιχνιδιού είναι "ημιπροφανές" και δεν χρειαζόταν καθόλου πράξεις! Σωστά;

[george visvikis]

Ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις!

[Mihalis_Lambrou]

Στο σκραμπλ υπάρχει ένα σακούλι με 102 γράμματα εκ των οποίων δύο είναι μπαλαντέρ. Παίζουν δύο παίκτες.

Ο πρώτος τραβάει 7 γράμματα και στη συνέχεια ο δεύτερος τραβάει άλλα 7 από τα εναπομείναντα γράμματα. Το

ερώτημα είναι αν αυτός που παίζει πρώτος ευνοείται στο τράβηγμα των μπαλαντέρ ή αν έχουν ίσες πιθανότητες.

Μιά γρήγορη απόδειξη ότι οι πιθανότητες των δύο παικτών να τραβήξουν μπαλαντέρ είναι ακριβώς ίδιες:

Κοιτάμε τα 14 γράμματα που τράβηξαν, με την σειρά που τα τράβηξαν, οι δύο παίκτες. Είναι μία διατεταγμένη παράσταση της μορφής . Εννοείται ότι ανάμεσα στα μπορεί να υπάρχουν μπαλαντέρ.

Κάνουμε τώρα μία και επί απεικόνιση στο σύνολο όλων αυτών των δεκατετράδων ως εξής

(ανταλλαγή των αντίστοιχων και .)

Είναι τώρα σαφές ότι για κάθε 14-άδα που βγήκε ευνοημένος ο υπάρχει μία και μοναδική αντίστοιχη 14-τράδα που βγήκε ευνοημένος ο . Για παράδειγμα αν στην πρώτη 14-άδα υπάρχουν πιο πολλοί μπαλαντέρ ανάμεσα στα πρώτα στοιχεία, συμβαίνει το ανάποδο στην δεύτερη.

Συνεπώς κανείς παίκτης δεν ευνοείται.

[gbdalako]

Ακριβώς!