Επόμενος λόγος

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα.

: 3-5 Επόμενος λόγος.png (93.34 KiB) Προβλήθηκε 1016 φορές

Το

είναι το μέσον της

και τα σημεία A,M,E

είναι συνευθειακά. Οι AB,CE

τέμνονται στο

Αν $\dfrac{EM}{MA}=\dfrac{1}{2}$ και $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{3}$ τότε: Να υπολογίσετε τον ...επόμενο λόγο $\dfrac{EC}{FC}$

Σας ευχαριστώ, Γιώργος

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Τρί Μάιος 03, 2022 1:40 am Καλημέρα.
3-5 Επόμενος λόγος.png
Το είναι το μέσον της και τα σημεία είναι συνευθειακά. Οι τέμνονται στο

Αν $\dfrac{EM}{MA}=\dfrac{1}{2}$ και $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{3}$ τότε: Να υπολογίσετε τον ...επόμενο λόγο $\dfrac{EC}{FC}$

Σας ευχαριστώ, Γιώργος

Με ύλη Α' Λυκείου. Το $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{3}$ δεν χρειάζεται.

: Επόμενος λόγος.png (14.88 KiB) Προβλήθηκε 989 φορές

Φέρνω

Τότε είναι $\displaystyle BN|| = 2ME|| = AM,$ άρα το ABNM

είναι παραλληλόγραμμο,

οπότε το

είναι μέσο του

κι επειδή και το

είναι μέσο του CN,

θα είναι $\displaystyle EC = \frac{{FC}}{4}$

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλησπέρα!

george visvikis έγραψε: Τρί Μάιος 03, 2022 10:44 am

Το $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{3}$ δεν χρειάζεται.

Πολύ σωστά Γιώργο , ο λόγος χρειαζόταν σε άλλο ζητούμενο που τελικά δεν υπέβαλα..

Ας δούμε το ζητούμενο που είχα αρχικά κατά νου, σε γενικότερη μορφή:

: Επομένως ισοσκελές.png (97.55 KiB) Προβλήθηκε 952 φορές

Δίνεται το τρίγωνο ABC

με

. Στην προέκταση της διαμέσου

παίρνουμε

ώστε να ισχύει $\dfrac{AM}{ME}=\dfrac{b+c}{b-c}$ .

Αν

η τομή των AB,CE

τότε: Να εξεταστεί αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος.

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Τρί Μάιος 03, 2022 9:20 pm Καλησπέρα!
george visvikis έγραψε: Τρί Μάιος 03, 2022 10:44 am

Το $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{3}$ δεν χρειάζεται.
Πολύ σωστά Γιώργο , ο λόγος χρειαζόταν σε άλλο ζητούμενο που τελικά δεν υπέβαλα..

Ας δούμε το ζητούμενο που είχα αρχικά κατά νου, σε γενικότερη μορφή:
Επομένως ισοσκελές.png
Δίνεται το τρίγωνο με . Στην προέκταση της διαμέσου παίρνουμε ώστε να ισχύει $\dfrac{AM}{ME}=\dfrac{b+c}{b-c}$ .

Αν η τομή των τότε: Να εξεταστεί αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος.

Καλημέρα Γιώργο!

Φέρνω MN||BT

και θέτω

οπότε

: Επόμενος λόγος.β.png (10.09 KiB) Προβλήθηκε 923 φορές

$\displaystyle \frac{x}{{AT}} = \frac{{EM}}{{EA}} \Leftrightarrow \frac{x}{{AT - x}} = \frac{{EM}}{{AM}} = \frac{{b - c}}{{b + c}} \Leftrightarrow \frac{x}{{c + x}} = \frac{{b - c}}{{b + c}} \Leftrightarrow 2x = b - c \Leftrightarrow$ $\boxed{AT=b=AC}$

nickchalkida · #5

Με

και $\dfrac{AM}{ME}=\dfrac{b+c}{b-c}$ είναι ABDC

παραλληλόγραμμο και

$\displaystyle{ \dfrac{AE}{ED}=\dfrac{AM+ME}{AM-ME}=\dfrac{\dfrac{b+c}{b-c}+1}{\dfrac{b+c}{b-c}-1}=\dfrac{b}{c} }$

άρα

διχοτόμος της $\widehat{C}$ , οπότε $A\widehat{C}F=F\widehat{C}D=C\widehat{F}A$ και AFC

ισοσκελές.

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλό βράδυ. Θερμό ευχαριστώ στους Γιώργο και Νίκο για τις ωραίες λύσεις!
Η πρώτη λύση που είχα κατα νου ήταν αυτή του Νίκου. Ας δούμε μια ακόμη (για το β΄ ζητούμενο)

: 6-5...ισοσκελές.png (88.92 KiB) Προβλήθηκε 844 φορές

Φέρω $BZN \parallel TEC$ . Τότε MZ=ME

και $\dfrac{AM}{MZ}=\dfrac{b+c}{b-c}\Rightarrow \dfrac{AZ}{ZM}=\dfrac{2c}{b-c}$ .

Με τον Μενέλαο στο τρίγωνο MAC

και διατέμνουσα BZN

παίρνουμε $\dfrac{AZ}{ZM}\cdot \dfrac{MB}{BC}\cdot \dfrac{CN}{NA}=1\Rightarrow \dfrac{CN}{NA}=2 \dfrac{b-c}{2c}$

Άρα $\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{b}{c}\Rightarrow AN=c=AB$ και AT=AC

. Φιλικά, Γιώργος.

Επόμενος λόγος

Επόμενος λόγος

Re: Επόμενος λόγος

Re: Επόμενος λόγος

Re: Επόμενος λόγος

Re: Επόμενος λόγος

Re: Επόμενος λόγος

Μέλη σε σύνδεση