Όριο στο 0

nikosklms · #1

Να υπολογίσετε το όριο : $\lim_{x\rightarrow 0^+}(\frac{x^2lnx}{\sin (e^x-1)})$

#2

nikosklms έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 27, 2022 12:32 pm
Να υπολογίσετε το όριο : $\lim_{x\rightarrow 0^+}(\dfrac{x^2lnx}{\sin (e^x-1)})$

$f(x) = \dfrac{{{x^2}\ln x}}{{\sin \left( {{e^x} - 1} \right)}} = x\ln x \cdot \dfrac{x}{{{e^x} - 1}} \cdot \dfrac{{{e^x} - 1}}{{\sin \left( {{e^x} - 1} \right)}}$

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x\ln x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\ln x}}{{\dfrac{1}{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\dfrac{1}{x}}}{{ - \dfrac{1}{{{x^2}}}}} = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{x}{{{e^x} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{{{e^x}}} = 1 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{{e^x} - 1}}{{\sin \left( {{e^x} - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{u \to {0^ + }} \dfrac{u}{{\sin u}} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Άρα $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = 0$

#3

nikosklms έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 27, 2022 12:32 pm
Να υπολογίσετε το όριο : $\lim_{x\rightarrow 0^+}(\frac{x^2lnx}{\sin (e^x-1)})$

Και αλλιώς αλλά θα δώσω μόνο υπόδειξη. Θα χαρούμε να δούμε εδώ την συμπλήρωση των λεπτομερειών, από μέρους σου.

Η λύση του Νίκου παραπάνω είναι η λύση μαέστρου, αλλά δες και το εξής:

α) Δείξε ότι ο αριθμητής τείνει στο

καθώς $\to 0+$ . Μάλιστα ήδη το $x\ln x$ τείνει στο μηδέν, πόσο μάλλον το $x^2\ln x$ .

β) Είσαι τώρα έτοιμος για l' Hospital.

Τελική απάντηση:

.

nikosklms · #4

#5

nikosklms έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 27, 2022 2:03 pm
Σας ευχαριστώ. Είμαι Γ λυκείου και στις ενδοσχολικές εξετάσεις στα μαθηματικά είχε αυτό ακριβώς το όριο και εγώ το βρήκα μηδέν αλλά ο μαθηματικός μού είπε ότι βγαίνει πλην άπειρο και τώρα σκέφτομαι να του το αναφέρω.

Σίγουρα ο Μαθηματικός θα έχει κάνει λογιστικό σφάλμα. Ουδέν μεμπτόν και απόλυτα ανθρώπινο.

Βάζω το γράφημα της συνάρτησης από λογισμικό, που και αυτό συμφωνεί ότι το όριο είναι

. Προσοχή, όμως, τα λογισμικά δεν είναι κριτήριο ορθότητας αλλά συχνά (όχι πάντα) είναι άριστος οδηγός.

kfd · #6

mathematica.gr

Όριο στο 0

Όριο στο 0

Re: Όριο στο 0

Re: Όριο στο 0

Re: Όριο στο 0

Re: Όριο στο 0

Re: Όριο στο 0

Μέλη σε σύνδεση