Ίσα... αλλά όχι κι όμοια

DreamingMaths · #1

Δίνεται η εξίσωση $f(x)=x^{4}+4sx^{3}+(6s^{2}-5)x^{2}+(3s^{3}+6s)x+11s^{2}+4=0$ , όπου $s\in \mathbb{R}$ . Η εξίσωση έχει τέσσερεις άνισες πραγματικές ρίζες και το άθροισμα δύο ριζών της είναι ίσο με το άθροισμα των άλλων δύο ριζών της.

α) Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του

.
β) Να βρεθούν οι ρίζες του f(x)

για κάθε δυνατή τιμή του

.

#2

DreamingMaths έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 31, 2022 9:28 pm
Δίνεται η εξίσωση $f(x)=x^{4}+4sx^{3}+(6s^{2}-5)x^{2}+(3s^{3}+6s)x+11s^{2}+4=0$ , όπου $s\in \mathbb{R}$ . Η εξίσωση έχει τέσσερεις άνισες πραγματικές ρίζες και το άθροισμα δύο ριζών της είναι ίσο με το άθροισμα των άλλων δύο ριζών της.

α) Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του .
β) Να βρεθούν οι ρίζες του για κάθε δυνατή τιμή του .

Δεν νομίζω ότι είναι άσκηση για Άλγεβρα Α.Ε.Ι. καθώς είναι μία μάλλον απλή άσκηση σε Vieta.

Το κάνω χωρίς τις πράξεις στο τελευταίο βήμα και χωρίς έλεγχο των πράξεων στα υπόλοιπα τμήματα γιατί δεν έχει νόημα:

Έστω a,b,c,d

οι ρίζες με a+b=c+d

Από Vieta έχουμε διαδοχικά

α) a+b+c+d=-4s

, οπότε $\boxed {a+b=-2s}$

β) 6s^2-5= ab+ac+ad+bc+bd= (a+b)(c+d) +ab+cd = (-2s)(-2s) + ab+cd

, άρα $\boxed {ab+cd= 2s^2-5}$ .

γ) -3s^3-6s= abc+abd+acd+bcd= (a+b)cd+(c+d)ab= -2s(ab+cd)

. Άρα είτε $\boxed {s=0}$ ή $\boxed{ -3s^2-6= -2(ab+cd)}$ .

Ας δούμε πρώτα την περίπτωση s=0

. Τότε η αρχική είναι x^4-5x^2+4=0

με ρίζες $\pm 1,\, \pm 2$ (δεκτές αφού 1-1=2-2

).

Αλλώς, στην δεύτερη περίπτωση, από τις β) και γ) είναι -3s^2-6= -2(2s^2-5)

, άρα $s^2= \dfrac {4}{7}$ .

δ) $\dfrac {72}{7} = 11s^2+4= (ab)(cd)$

που μαζί με την γ) στην μορφή $(ab)+(cd) =2s^2-5 =- \dfrac {27}{7}$ βρίσκουμε τα $ab, \, cd$ . Είναι οι μιγαδικοί $\displaystyle{-\dfrac {27}{14} \pm \dfrac {3\sqrt {143}}{7}i }$ . Αν δεν θέλουμε μιγαδικούς, σταματάμε. Αλλιώς,

με την $a+b= c+d= -2s= \pm \dfrac {4\sqrt 7}{7}$ βρίσκουμε τα a,b,c,d

και ελέγχουμε. Δεν αξίζει τον κόπο να γίνουν οι πράξεις.

Άλλος τρόπος μετά που βρήκαμε το

είναι να το αντιπαταστήσουμε πίσω στην αρχική και μετά να λύσουμε την τεταρτοβάθμια. Η τεχνική είναι γνωστή και δεν υπάρχει λόγος να ξανακάνω εδώ βήματα ρουτίνας.

Ίσα... αλλά όχι κι όμοια

Ίσα... αλλά όχι κι όμοια

Re: Ίσα... αλλά όχι κι όμοια

Μέλη σε σύνδεση