Άθροισμα γωνιών

AIAS · #1

Τα ορθογώνια τρίγωνα $ABC\left( {A = {{90}^0}} \right)$ και $CDE\left( {C = {{90}^0}} \right)$ έχουν $AC = CE = a\,\,\,,\,\,CD = 2a\,,\,\,AB = 3a$ .

Να βρεθεί το άθροισμα , $\widehat {{\omega ^{}}} + \widehat {{\theta ^{}}} = \widehat {ACB} + \widehat {CED}$

: Αθροισμα γωνιών.png (6.3 KiB) Προβλήθηκε 745 φορές

#2

Ωραίο αλλά αν το δούμε επανασχεδιασμένο είναι ένα παλιό και γνωστό πρόβλημα. Εδώ $\omega + \theta = (90-B)+(90-D) = 180 -(B+D)$ .
Tώρα, το παλιό και γνωστό πρόβλημα (βλέπε π.χ. post #32 εδώ και επίσης εδώ) μας λέει ότι B+D=45

.

Για την απόδειξη του B+D=45

υπάρχουν πολλοί τρόποι, πέρα από αυτούς στις παραπομπές. Στο φόρουμ έχουμε δει αρκετούς.

#3

Μία εκτός φακέλου.

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \tan \theta = 2 \hfill \\ \tan \omega = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \tan (\theta + \omega ) = \frac{{2 + 3}}{{1 - 2 \cdot 3}} = - 1 \Rightarrow$ $\boxed{\theta+\omega=135^\circ}$

#4

AIAS έγραψε: Παρ Ιουν 10, 2022 1:00 am Τα ορθογώνια τρίγωνα $ABC\left( {A = {{90}^0}} \right)$ και $CDE\left( {C = {{90}^0}} \right)$ έχουν $AC = CE = a\,\,\,,\,\,CD = 2a\,,\,\,AB = 3a$ .

Να βρεθεί το άθροισμα , $\widehat {{\omega ^{}}} + \widehat {{\theta ^{}}} = \widehat {ACB} + \widehat {CED}$
Αθροισμα γωνιών.png

Έστω

η ορθή προβολή του

στην

και

το σημείο τομής των ED, AB.

Με Πυθαγόρειο βρίσκω

$\displaystyle DM = ED = a\sqrt 5 ,CB = a\sqrt {10}$ και $\displaystyle BD = a\sqrt 2$ ( DNB

ορθογώνιο και ισοσκελές), $\displaystyle BM = a$

: Άθροισμα γωνιών.ΑΙ.png (11.92 KiB) Προβλήθηκε 683 φορές

Είναι, $\displaystyle \frac{{CD}}{{BD}} = \sqrt 2 = \frac{{BD}}{{BM}} = \frac{{BC}}{{DM}},$ άρα τα τρίγωνα CDB, DBM

είναι όμοια, οπότε

$B\widehat DM=D\widehat CB=90^\circ-\omega.$ Εξάλλου, $\displaystyle D\widehat MB = E\widehat MA = 90^\circ - \theta.$ Αλλά, $\displaystyle D\widehat BM = 135^\circ.$

Επομένως, $\boxed{\theta+\omega=135^\circ}$

Άθροισμα γωνιών

Άθροισμα γωνιών

Re: Άθροισμα γωνιών

Re: Άθροισμα γωνιών

Re: Άθροισμα γωνιών

Μέλη σε σύνδεση