Εξίσωση με τόξο εφαπτομένης

#1

Να λυθεί στο $\mathbb R$ η εξίσωση

$\arctan x = \dfrac {\pi}{3} +x-\dfrac {x^3}{3}$

BAGGP93 · #2

Καλημέρα κ.Λάμπρου. Το έλυσα ως εξής : Η εξίσωση ισοδυναμεί με την $f(x)=\frac{\pi}{3},\,x\in\mathbb{R},$ όπου

$\displaystyle{f(x)=\arctan\,x+\frac{x^3}{3}-x,\,x\in\mathbb{R}.}$

Με εύκολες πράξεις, $\displaystyle{f^{\prime}(x)=\frac{x^4}{1+x^2}\geq 0,\,x\in\mathbb{R}}$

με την ισότητα μόνο για x=0

, που σημαίνει ότι η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ . Παρατηρούμε $f(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3}$

και άρα $x=\sqrt{3}$ μοναδική λύση της εξίσωσης.

Εξίσωση με τόξο εφαπτομένης

Εξίσωση με τόξο εφαπτομένης

Re: Εξίσωση με τόξο εφαπτομένης

Μέλη σε σύνδεση