Συναρτησιακή με τόξο εφαπτομένης

#1

Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις $f: \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ που ικανοποιούν την συναρτησιακή σχέση

$f(\arctan x) = (1+x^2)f(x)$ για κάθε

.

#2

Ορίζω τη συνάρτηση $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με τύπο

$\displaystyle F(x) =\int_{0}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$

Τότε F'(x) = f(x)

. Επίσης, ορίζοντας $g(x) = \arctan(x)$ έχουμε

$\displaystyle F'(g(x)) = \frac{1}{g'(x)}F'(x)$

επομένως

$\displaystyle (F\circ g)'(x) = F'(g(x))g'(x) = F'(x)$

Άρα F(g(x)) = F(x) + c

για κάποιο $c \in \mathbb{R}$ . Για x=0

παίρνουμε

άρα

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Για a > 0

ορίζω την ακολουθία (a_n)

με

και $a_{n+1} = \arctan(a_n)$ για $n \geqslant 0$ . Η (a_n)

είναι φθίνουσα ακολουθία θετικών όρων άρα συγκλίνει σε κάποιο όριο $\ell$ για το οποίο ισχύει $\ell = \arctan{\ell}$ . Άρα η (a_n)

συγκλίνει στο

. Όμως $F(a) = F(a_0) = F(a_1) = \cdots$ και από τη συνέχεια της

έχουμε

. Ομοίως και F(a) = F(0)

αν

.

Επομένως η

είναι σταθερή και άρα η

είναι η μηδενική συνάρτηση.

Συναρτησιακή με τόξο εφαπτομένης

Συναρτησιακή με τόξο εφαπτομένης

Re: Συναρτησιακή με τόξο εφαπτομένης

Μέλη σε σύνδεση