Ώρα εφαπτομένης 133

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 133.png (9.17 KiB) Προβλήθηκε 1349 φορές

$\bigstar$ Το έγκεντρο

, του ισοσκελούς τριγώνου ABC , (AB=AC)

,

διαιρεί το ύψος

, σε λόγο : $\dfrac{AE}{ED}=3$ . Υπολογίστε την : $\tan\hat{B}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Ιουν 01, 2022 11:18 am Ώρα εφαπτομένης 133.png $\bigstar$ Το έγκεντρο , του ισοσκελούς τριγώνου ,

διαιρεί το ύψος , σε λόγο : $\dfrac{AE}{ED}=3$ . Υπολογίστε την : $\tan\hat{B}$ .

Έστω

το ύψος του τριγώνου και

η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Από υπόθεση είναι $\boxed{h=4r}$

: Ώρα εφαπτομένης.133.png (9.35 KiB) Προβλήθηκε 1278 φορές

$\displaystyle (ABC) = 2(AEB) + (BEC) \Leftrightarrow \frac{1}{2}a \cdot 4r = \frac{1}{2}(2b + a)r \Leftrightarrow b = \frac{{3a}}{2}$

Αλλά από Π.Θ είναι $\displaystyle {h^2} = {b^2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{8{a^2}}}{4} \Leftrightarrow h = a\sqrt 2$ και $\boxed{\tan B = \frac{{2h}}{a} = 2\sqrt 2}$

ΥΓ1 Δεν πήρα απευθείας τον τύπο $\displaystyle E = \tau r$ για να ταιριάζει περισσότερο σε γυμνάσιο.

ΥΓ2 Λύνεται και με την βοήθεια του τύπου $\displaystyle \tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}$ όπου 2a=B

και $\displaystyle \tan B = 4\tan \frac{B}{2},$ αλλά είναι εκτός φακέλου.

kfd · #3

Αν

το ύψος του AEB

θα είναι $\angle B=\angle AET$ ως συμπληρώματα της $\frac{\angle A}{2}$ . Aπό ΠΘ στο AET

κι επειδή

θα είναι $AT=2\sqrt{2}r$ , άρα $tan\angle B=\frac{2\sqrt{2}r}{r}=2\sqrt{2}$ .

#4

kfd έγραψε: Πέμ Ιουν 02, 2022 12:13 pm Αν το ύψος του θα είναι $\angle B=\angle AET$ ως συμπληρώματα της $\frac{\angle A}{2}$ . Aπό ΠΘ στο κι επειδή θα είναι $AT=2\sqrt{2}r$ , άρα $tan\angle B=\frac{2\sqrt{2}r}{r}=2\sqrt{2}$ .

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

Aς δούμε μια εκτός ύλης λύση...

Από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο DBA

$\displaystyle \frac{AE}{ED}=\frac{AB}{BD}\Rightarrow 3=\frac{AB}{BD}\Rightarrow AB=3BD$

Aπό το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο DBA

προκύπτει εύκολα ότι

$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}\Rightarrow AD^{2}=\left ( 3BD \right )^{2}-BD^{2}\Rightarrow$

$AD^{2}=9BD^{2}-BD^{2}\Rightarrow AD^{2}=8BD^{2} \Rightarrow$

$\displaystyle AD=2\sqrt{2}BD\Rightarrow \frac{AD}{BD}=2\sqrt{2}$

Aπό το ορθογώνιο τρίγωνο DBA

προκύπτει

$tanB=2\sqrt{2}$

#6

Kι άλλη μια Τριγωνομετρική:

: 21-06-2022 Γεωμετρία.jpg (19.11 KiB) Προβλήθηκε 1167 φορές

Είναι $\displaystyle \varepsilon \varphi \frac{\varphi }{2} = \frac{{ED}}{{BD}},\;\;\varepsilon \varphi \varphi = \frac{{AD}}{{BD}},\;0^\circ < \varphi < 90^\circ$ , και $\displaystyle \frac{{AE}}{{ED}} = \frac{3}{1} \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{ED}} = \frac{4}{1}$

οπότε $\displaystyle \varepsilon \varphi \varphi = 4\varepsilon \varphi \frac{\varphi }{2} \Leftrightarrow \frac{{2\varepsilon \varphi \frac{\varphi }{2}}}{{1 - \varepsilon {\varphi ^2}\frac{\varphi }{2}}} = 4\varepsilon \varphi \frac{\varphi }{2} \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \frac{\varphi }{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

edit: Εκ των υστέρων είδα τη 2η σημείωση του Γιώργου παραπάνω. Ούτως ή άλλως σπανίως είμαι εντός φακέλου, αλλά αναρτώ τις λύσεις χάριν του πλουραλισμού και της διεύρυνσης των επιλογών των μαθητών μας.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε: Τετ Ιουν 01, 2022 11:18 am Ώρα εφαπτομένης 133.png $\bigstar$ Το έγκεντρο , του ισοσκελούς τριγώνου ,

διαιρεί το ύψος , σε λόγο : $\dfrac{AE}{ED}=3$ . Υπολογίστε την : $\tan\hat{B}$ .

Με $DZ//EB\Rightarrow ZB=BD= \dfrac{a}{2}$ και $\dfrac{AB}{BZ}= \dfrac{AE}{ED}=3 \Rightarrow \dfrac{b}{ \dfrac{a}{2} }=3 \Rightarrow b= \dfrac{3a}{2}$

Άρα (ή με χρήση Π.Θ) $cosB= \dfrac{1}{3} \Rightarrow tanB=2 \sqrt{2}$

: ώρα εφαπτομένης 133.png (228.14 KiB) Προβλήθηκε 1136 φορές

#8

KARKAR έγραψε: Τετ Ιουν 01, 2022 11:18 am Ώρα εφαπτομένης 133.png $\bigstar$ Το έγκεντρο , του ισοσκελούς τριγώνου ,

διαιρεί το ύψος , σε λόγο : $\dfrac{AE}{ED}=3$ . Υπολογίστε την : $\tan\hat{B}$ .

Επειδή $\widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _{}}}$ ( οξείες με πλευρές κάθετες) και $\widehat {{\omega _2}} = \widehat {{\omega _{}}}$ (υπό χορδής κι εφαπτομένης) , είναι δε $DK \bot KZ$

η τετράδα , $\left( {A,F\backslash Z,D} \right)$ είναι αρμονική. Άρα , $\dfrac{{FD}}{{FZ}} = \dfrac{{AD}}{{AZ}} = 2$ . Αν λοιπόν θέσω

: Ωρα εφαπτομένης 133.png (21.47 KiB) Προβλήθηκε 1128 φορές

θα είναι $DF = 2k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AZ = 3k$ ενώ από το ορθογώνιο τρίγωνο KDZ

με ύψος το

, θα είναι : $K{F^2} = FZ \cdot FD = 2{k^2}$ .

Έτσι $\tan B = \tan \left( {\widehat {{\omega _1}} + \widehat {{\omega _2}}} \right) = \dfrac{{FA}}{{KF}} = \dfrac{{4k}}{{k\sqrt 2 }} = \dfrac{4}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2$ .

Ώρα εφαπτομένης 133

Ώρα εφαπτομένης 133

Re: Ώρα εφαπτομένης 133

Re: Ώρα εφαπτομένης 133

Re: Ώρα εφαπτομένης 133

Re: Ώρα εφαπτομένης 133

Re: Ώρα εφαπτομένης 133

Re: Ώρα εφαπτομένης 133

Re: Ώρα εφαπτομένης 133

Μέλη σε σύνδεση