Απαιτητική ανίσωση ( για μαθητές )

KARKAR · #1

$\bigstar$ Να λυθεί η ανίσωση : $\ln(e^{4x}-2e^{3x})\leq 3x+1$

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ · #2

Έχουμε:

$\ln(e^{3x}(e^x-2)) \leq 3x+1\Leftrightarrow \ln{e^{3x}}+\ln{{(e^x-2)}}\leq 3x+1\Leftrightarrow 3x+\ln(e^x-2)\leq 3x+1\Leftrightarrow \ln(e^x-2)\leq 1\Leftrightarrow e^{\ln(e^x-2)}\leq e\Leftrightarrow e^x-2\leq e\Leftrightarrow e^x\leq e+2\Leftrightarrow \ln{e^x}\leq \ln(e+2)\Leftrightarrow x\leq \ln(e+2)$ .

Πρέπει, όμως, ταυτόχρονα: $e^x-2>0\Leftrightarrow e^x>2\Leftrightarrow \ln{e^x}>\ln2\Leftrightarrow x>\ln2$ .

Είναι, τελικά: $x\in (\ln2,\ln(e+2)]$

KARKAR · #3

Ωραία ! Ας λυθεί τώρα και η : $\ln(e^{4x}-2e^{3x})\leq 2x+1$

Maria-Eleni Nikolaou · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 01, 2022 12:01 pm
Ωραία ! Ας λυθεί τώρα και η : $\ln(e^{4x}-2e^{3x})\leq 2x+1$

Η ανίσωση γράφεται:

$\ln (e^{2x}(e^{2x}-2e^x))\leq 2x+1\Leftrightarrow \ln e^{2x} +\ln(e^{2x}-2e^{x})\leq 2x+1\Leftrightarrow \ln(e^{x}(e^{x}-2))\leq 1$

Ακολουθούμε όμοιο τρόπο με την προηγούμενη ανίσωση:

$e^{\ln(e^{x}(e^{x}-2))}\leq e\Leftrightarrow e^{x}(e^{x}-2)\leq e\Leftrightarrow e^{2x}-2e^{x}-e\leq 0$

Για ευκολία θέτουμε: $e^{x}=\theta > 0$ οπότε:

$\theta ^{2}-2\theta-e\leq 0$ .Είναι: $\Delta =4+4e=4(e+1)$ , οπότε: $\theta_{1,2}=\dfrac{2\pm 2\sqrt{e+1}}{2}=1\pm \sqrt{e+1}$

Έτσι, $\theta\in(1-\sqrt{e+1},1+\sqrt{e+1})$ , όμως πρέπει: $\theta>0$

Οπότε: $0<e^{x}\leq 1+\sqrt{e+1}\Rightarrow x\leq \ln(1+\sqrt{e+1})$

Όμως λόγω περιορισμού πρέπει (όπως και πριν): $e^x-2>0\Rightarrow x>\ln 2$

Επομένως: $\ln2<x\leq \ln(1+\sqrt{e+1})$

KARKAR · #5

Ας κλείσουμε με αυτήν : $log_{3}(16^x-2\cdot12^x)\leq 2x+1$

Maria-Eleni Nikolaou · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 02, 2022 6:24 am
Ας κλείσουμε με αυτήν : $log_{3}(16^x-2\cdot12^x)\leq 2x+1$

Είναι: $\log_{3}\left ( 4^{2x}-2\cdot 3^{x}\cdot 4^{x} \right )\leq 2x+1\Leftrightarrow \log_{3}\left ( 3^{x}\left ( \dfrac{4^{2x}}{3^{x}}-2\cdot 4^{x} \right ) \right )\leq 2x+1$

Γίνεται: $\log_{3}\left ( \dfrac{4^{2x}}{3^{x}}-2\cdot 4^{x} \right )\leq x+1\Leftrightarrow \log_{3}\left (3^{x}\left (\dfrac{4^{2x}}{3^{2x}}-\dfrac{2\cdot 4^{x}}{3^{x}}\right ) \right )\leq x+1$

Οπότε: $\log_{3}\left ( \left ( \dfrac{4}{3} \right )^{2x}-2\cdot \left ( \dfrac{4}{3} \right )^{x}\right )\leq 1=\log_{3}3\Leftrightarrow \left ( \dfrac{4}{3} \right )^{2x}-2\cdot \left ( \dfrac{4}{3} \right )^{x}\leq 3$

Θέτουμε: $\left ( \dfrac{4}{3} \right )^{x}=\theta > 0$ , οπότε έχουμε:

$\theta ^{2}-2\theta-3\leq 0\Leftrightarrow (\theta-3)(\theta+1)\leq 0\Leftrightarrow \theta \in\left [ -1,3 \right ]$

Όμως: $\theta>0\Rightarrow 0<\left ( \dfrac{4}{3} \right )^{x}\leq 3\Leftrightarrow x\leq log_{\frac{4}{3}}3$

Επιπλέον, λόγω περιορισμού ισχύει: $\left ( \dfrac{4}{3} \right )^{2x}-2\cdot \left ( \dfrac{4}{3}\right )^{x}> 0\Leftrightarrow \theta^{2}-2\theta>0\Leftrightarrow \theta(\theta-2)>0\Rightarrow \theta>2\Leftrightarrow \left ( \dfrac{4}{3} \right )^x> 2\Leftrightarrow x> \log_{\frac{4}{3}}2$

Επομένως: $\boxed{\log_{\frac{4}{3}}2<x\leq \log_{\frac{4}{3}}3}$

KARKAR · #7

Σημειώνω ότι η τελευταία άσκηση είναι η με αριθμό

, από τις ασκήσεις επανάληψης ( Δ' Ομάδας )

του εν χρήσει σχολικού βιβλίου ( σελίδα 194

) . Θεωρώ απίθανο να έχει διδαχθεί κάπου ...

Απαιτητική ανίσωση ( για μαθητές )

Απαιτητική ανίσωση ( για μαθητές )

Re: Απαιτητική ανίσωση ( για μαθητές )

Re: Απαιτητική ανίσωση ( για μαθητές )

Re: Απαιτητική ανίσωση ( για μαθητές )

Re: Απαιτητική ανίσωση ( για μαθητές )

Re: Απαιτητική ανίσωση ( για μαθητές )

Re: Απαιτητική ανίσωση ( για μαθητές )

Μέλη σε σύνδεση