Δύσκολη άσκηση με συνάρτηση

NickSpanoudis · #1

Δίνεται η συνάρτηση $f\left (x \right )= \frac{\log x +1}{\log x -1}$
Αν $a= f\left ( \tan \frac{\pi }{5} \right )\cdot f\left ( \tan \frac{3\pi }{10} \right )$
να λύσετε την εξίσωση: $27^{x}-9^{x+a}+ 33\cdot 3^{x-a}+21= 0$ .
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!

Maria-Eleni Nikolaou · #2

NickSpanoudis έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 11, 2022 11:57 pm
Δίνεται η συνάρτηση $f\left (x \right )= \frac{\log x +1}{\log x -1}$
Αν $a= f\left ( \tan \frac{\pi }{5} \right )\cdot f\left ( \tan \frac{3\pi }{10} \right )$
να λύσετε την εξίσωση: $27^{x}-9^{x+a}+ 33\cdot 3^{x-a}+21= 0$ .
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!

Με μια επιφύλαξη:

a=1

οπότε: $x=1 \nonfrenchspacing \vee x=\log_3{7}$

Αναλυτικά το απόγευμα.

kfd · #3

Η

ορίζεται με $x>0, x\neq 10$ .
Τα τόξα $\frac{ \pi }{5},\frac{3\pi }{10}$ συμπληρωματικά άρα $tan\frac{\pi }{5}\cdot tan\frac{3\pi }{10}=1$ κι επειδή με $x>0,x\neq \frac{1}{10},x\neq 10$ είναι $f\left ( \frac{1}{x} \right )=\frac{1}{f\left ( x \right )}$ θα είναι $f\left ( tan\frac{\pi }{5} \right )\cdot f\left ( tan\frac{3\pi }{10} \right )=1$ .
Για $\alpha =1$ η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται $3^{3x}-9\cdot 3^{2x}+11\cdot 3^{x}+21=0\Leftrightarrow \omega ^{3}-9\omega ^{2}+11\omega +21=0\Leftrightarrow \omega =-1,7,3$ με αποδεκτές x=1,x=log{7}/log{3}

.

Maria-Eleni Nikolaou · #4

Η λύση μου είναι παρόμοια με του/της kfd.

Είναι: $\dfrac{\pi}{5}+\dfrac{3\pi}{10}=\dfrac{\pi}{2}$ , οπότε: $\tan{\dfrac{\pi}{5}}\cdot\tan{\dfrac{3\pi}{10}}=1$

Θέτουμε: $\kappa =\tan\dfrac{\pi}{5}$ και $\lambda =\tan\dfrac{3\pi}{10}$ , άρα: $\kappa\lambda=1$

Έτσι, έχουμε: $a= \dfrac{\log\left ( 10\cdot \tan\dfrac{\pi}{5} \right )}{\log\left ( \dfrac{1}{10}\cdot \tan\dfrac{\pi}{5} \right )}\cdot \dfrac{\log\left ( 10\cdot \tan\dfrac{3\pi}{10} \right )}{\log\left ( \dfrac{1}{10}\cdot \tan\dfrac{3\pi}{10} \right )}$

Γράφεται:

$a=\dfrac{\log\left ( 10\kappa \right )}{\log\left (\dfrac{\kappa}{10}\right)}\cdot \dfrac{\log\left ( 10\lambda \right )}{\log\left (\dfrac{\lambda}{10}\right)}\Leftrightarrow a=\log_\frac{\lambda}{10}(10\kappa)\cdot \log_\frac{\kappa}{10}(10\lambda)\Leftrightarrow a= -1\cdot (-1)=1$

Για την εξίσωση, η λύση μου είναι ίδια με την παραπάνω.

Δύσκολη άσκηση με συνάρτηση

Δύσκολη άσκηση με συνάρτηση

Re: Δύσκολη άσκηση με συνάρτηση

Re: Δύσκολη άσκηση με συνάρτηση

Re: Δύσκολη άσκηση με συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση