Λόγος τετραγώνου πρός τρίγωνο

AIAS · #1

: Λόγος τριγώνου πρός τετράγωνο.png (5.9 KiB) Προβλήθηκε 762 φορές

Στο τετράγωνο ABCD

το

είναι μέσο της πλευράς

. Για το εσωτερικό σημείο

του τετραγώνου ισχύουν, $\widehat {FMD} = {60^0}$ και $\widehat {CFB} = {90^0}$ .

Βρείτε το λόγο $\dfrac{{\left( {ABCD} \right)}}{{\left( {FBC} \right)}}$

AIAS

#2

AIAS έγραψε: Σάβ Ιούλ 09, 2022 10:22 am Λόγος τριγώνου πρός τετράγωνο.png
Στο τετράγωνο το είναι μέσο της πλευράς . Για το εσωτερικό σημείο του τετραγώνου ισχύουν, $\widehat {FMD} = {60^0}$ και $\widehat {CFB} = {90^0}$ .

Βρείτε το λόγο $\dfrac{{\left( {ABCD} \right)}}{{\left( {FBC} \right)}}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

STOPJOHN · #3

AIAS έγραψε: Σάβ Ιούλ 09, 2022 10:22 am Λόγος τριγώνου πρός τετράγωνο.png
Στο τετράγωνο το είναι μέσο της πλευράς . Για το εσωτερικό σημείο του τετραγώνου ισχύουν, $\widehat {FMD} = {60^0}$ και $\widehat {CFB} = {90^0}$ .

Βρείτε το λόγο $\dfrac{{\left( {ABCD} \right)}}{{\left( {FBC} \right)}}$

Εστω οτι $TL//AB,MT=x,\lambda =\dfrac{(ABCD)}{(FBC)},$

Τότε $\lambda =\dfrac{2a}{FL},$

$FCB,FL^{2}=(\dfrac{a}{2}-x)(\dfrac{a}{2}+x),(1), TF=x\sqrt{3},MF=2x,FL=a-x\sqrt{3},(2), (1),(2)\Rightarrow 16x^{2}-8a\sqrt{3}x+3a^{2}=0,x=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}, LF=\dfrac{a}{4},\lambda =8$

#4

AIAS έγραψε: Σάβ Ιούλ 09, 2022 10:22 am Λόγος τριγώνου πρός τετράγωνο.png
Στο τετράγωνο το είναι μέσο της πλευράς . Για το εσωτερικό σημείο του τετραγώνου ισχύουν, $\widehat {FMD} = {60^0}$ και $\widehat {CFB} = {90^0}$ .

Βρείτε το λόγο $\dfrac{{\left( {ABCD} \right)}}{{\left( {FBC} \right)}}$

Έστω

το μέσο του BC.

: Λόγος τετραγώνου προς τρίγωνο.png (15.8 KiB) Προβλήθηκε 673 φορές

$\displaystyle FN = \frac{a}{2} = \frac{{MN}}{2},F\widehat MN = 30^\circ \Rightarrow M\widehat FN = 90^\circ$ και $\displaystyle M\widehat NF = 60^\circ ,F\widehat NC = 30^\circ$

$\displaystyle \frac{{(ABCD)}}{{(FBC)}} = \frac{{{a^2}}}{{2(NFC)}} = \frac{{{a^2}}}{{\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}\sin 30^\circ }} = \frac{{8{a^2}}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{(ABCD)}}{{(FBC)}} = 8}$

#5

AIAS έγραψε: Σάβ Ιούλ 09, 2022 10:22 am Λόγος τριγώνου πρός τετράγωνο.png
Στο τετράγωνο το είναι μέσο της πλευράς . Για το εσωτερικό σημείο του τετραγώνου ισχύουν, $\widehat {FMD} = {60^0}$ και $\widehat {CFB} = {90^0}$ .

Βρείτε το λόγο $\dfrac{{\left( {ABCD} \right)}}{{\left( {FBC} \right)}}$

Κατασκευή.

Μέσα στο τετράγωνο με διάμετρο $\overline {BKC}$ γράφω ημικύκλιο και φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα

προς αυτό .

Αν τώρα

το ύψος του ορθογωνίου τριγώνου FBC

προς την υποτείνουσά του θα είναι :

: Λόγος τεραγώνου πρός τρίγωνο.png (25.9 KiB) Προβλήθηκε 667 φορές

$ET = \dfrac{1}{2}FK = \dfrac{1}{2}KB = \dfrac{1}{4}AB$ ( υπάρχει και σχετική άσκηση στο σχολικό της Α Λυκείου)

Αν λοιπόν θέσω ET = x

θα είναι : $\boxed{\dfrac{{\left( {ABCD} \right)}}{{\left( {FBC} \right)}} = \dfrac{{16{x^2}}}{{\dfrac{1}{2}4{x^2}}} = 8}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

AIAS έγραψε: Σάβ Ιούλ 09, 2022 10:22 am Λόγος τριγώνου πρός τετράγωνο.png
Στο τετράγωνο το είναι μέσο της πλευράς . Για το εσωτερικό σημείο του τετραγώνου ισχύουν, $\widehat {FMD} = {60^0}$ και $\widehat {CFB} = {90^0}$ .

Βρείτε το λόγο $\dfrac{{\left( {ABCD} \right)}}{{\left( {FBC} \right)}}$

Είναι

κι έστω $MK \bot ZE$

Ισχύει $(EMK)= \dfrac{(MEZ)}{2}= \dfrac{(MDCZ)}{4}= \dfrac{(ABCD)}{8}$ κι έστω ακόμη $KP \bot ME$

Είναι $\angle EKP=\angle KME= 15^0$ άρα $\ KP=\dfrac{ME}{4}= \dfrac{a}{4}= \dfrac{ \dfrac{a}{2} }{2}= \dfrac{FZ}{2}$

Αλλά

μέσον της

,άρα

μέσον της

και $KP//ZF \Rightarrow \angle EZF=15^0= \angle ZBF$

Τότε όμως $\triangle EMK= \triangle CBF$ άρα $\dfrac{(ABCD)}{(BFC)}=\dfrac{(ABCD)}{(EMK)} =8$

: λόγος τετραγώνου προς τρίγωνο.png (345.72 KiB) Προβλήθηκε 599 φορές

Λόγος τετραγώνου πρός τρίγωνο

Λόγος τετραγώνου πρός τρίγωνο

Re: Λόγος τετραγώνου πρός τρίγωνο

Re: Λόγος τετραγώνου πρός τρίγωνο

Re: Λόγος τετραγώνου πρός τρίγωνο

Re: Λόγος τετραγώνου πρός τρίγωνο

Re: Λόγος τετραγώνου πρός τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση