Μεταβλητό σημείο επί σταθερής ευθείας.

#1

Δίνεται τετράπλευρο και έστω $Bx,\ By$ , τυχούσες ευθείες δια της κορυφής , ισογώνιες ως προς την γωνία $\angle B$ . Επί των $Bx,\ By$ λαμβάνουμε αντιστοίχως τυχόντα σημεία $E,\ F$ και έστω τα σημεία $K\equiv BA\cap DE$ και $L\equiv BC\cap DF$ . Αποδείξτε ότι η ευθεία είναι σταθερή, όπου $P\equiv KF\cap LE$ .

: Μεταβλητό σημείο επί σταθερής ευθείας.; f=185 t=71984.PNG (12.52 KiB) Προβλήθηκε 2964 φορές

Κώστας Βήττας.

MAnTH05 · #2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

MAnTH05 έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 24, 2022 11:19 pm

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Η είναι σταθερή ως συμμετρική της ως προς τη διχοτόμο της $\angle ABC$ . Θα επανέλθω με την απόδειξη

Ματθαίο θα σε περιμένω μέχρι το βραδάκι ( πολλές μερες περιμένω

)

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #4

vittasko έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 23, 2022 2:04 pm
Δίνεται τετράπλευρο και έστω $Bx,\ By$ , τυχούσες ευθείες δια της κορυφής , ισογώνιες ως προς την γωνία $\angle B$ . Επί των $Bx,\ By$ λαμβάνουμε αντιστοίχως τυχόντα σημεία $E,\ F$ και έστω τα σημεία $K\equiv BA\cap DE$ και $L\equiv BC\cap DF$ . Αποδείξτε ότι η ευθεία είναι σταθερή, όπου $P\equiv KF\cap LE$ .
f=185 t=71984.PNG
Κώστας Βήττας.

Στο μεταξύ......

Αρχικά αυτό με τις ισογώνιες δεν παίζει κανένα ρόλο, αρκεί οι ευθείες BE,BF

να είναι σταθερές και τότε θα είναι και η

Το γιατί, σταθεροποιώ όλα τα σημεία εκτός από το

το οποίο κουνάω πάνω στην σταθερή ευθεία

,
τότε $E\rightarrow DE\rightarrow DE\cap AB=K\rightarrow FK$ είναι προβολικότητα, το

είναι σταθερό επομένως και η $E\rightarrow LE$ προβολικότητα.
Έχουμε λοιπόν μια προβολική απεικόνιση $FK\rightarrow LE$ , αλλά συγχρόνως αυτή η απεικόνιση στέλνει την

στον εαυτό της, αφού όταν

πέσει στην

τότε $K=DF\cap AB$ , άρα $FK\equiv FD$ και $LE\equiv FD$ , επομένως η τομή $FK\cap LE$ βρίσκεται σε σταθερή ευθεία, όταν E=B

το $K\equiv B, P\equiv B$ , έδειξα λοιπόν ότι η

είναι ανεξάρτητη της θέσης του

πάνω στην

Ομοίως είναι ανεξάρτητη της θέσης του

στην

και έτσι είναι σταθερή.

#5

vittasko έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 23, 2022 2:04 pm
Δίνεται τετράπλευρο και έστω $Bx,\ By$ , τυχούσες ευθείες δια της κορυφής , ισογώνιες ως προς την γωνία $\angle B$ . Επί των $Bx,\ By$ λαμβάνουμε αντιστοίχως τυχόντα σημεία $E,\ F$ και έστω τα σημεία $K\equiv BA\cap DE$ και $L\equiv BC\cap DF$ . Αποδείξτε ότι η ευθεία είναι σταθερή, όπου $P\equiv KF\cap LE$ .
f=185 t=71984.PNG
Κώστας Βήττας.

Ας δούμε και μια «παππουδίστικη» λύση

Έστω $S\equiv BP\cap DF,Q\equiv BP\cap DE$ . Τότε θα έχουμε:

$\vartriangle EDL\xrightarrow{\Theta .\Mu \varepsilon \nu \varepsilon \lambda \alpha o\upsilon \,\,\mu \varepsilon \,\,\delta \iota \alpha \tau \varepsilon \mu \nu o\upsilon \sigma \alpha \,\,PSQ}\dfrac{PE}{PL}\cdot \dfrac{SL}{SD}\cdot \dfrac{QD}{EQ}=1:\left( 1 \right)$

$\vartriangle EDL\xrightarrow{\Theta .\Mu \varepsilon \nu \varepsilon \lambda \alpha o\upsilon \,\,\mu \varepsilon \,\,\delta \iota \alpha \tau \varepsilon \mu \nu o\upsilon \sigma \alpha \,\,KPF}\dfrac{PL}{PE}\cdot \dfrac{KE}{DK}\cdot \dfrac{FD}{FL}=1:\left( 2 \right)$

$\vartriangle FKD\xrightarrow{\Theta .\Mu \varepsilon \nu \varepsilon \lambda \alpha o\upsilon \,\,\mu \varepsilon \,\,\delta \iota \alpha \tau \varepsilon \mu \nu o\upsilon \sigma \alpha \,\,PSQ}\dfrac{PK}{PF}\cdot \dfrac{FS}{SD}\cdot \dfrac{QD}{QK}=1:\left( 3 \right)$

$\vartriangle FKD\xrightarrow{\Theta .\Mu \varepsilon \nu \varepsilon \lambda \alpha o\upsilon \,\,\mu \varepsilon \,\,\delta \iota \alpha \tau \varepsilon \mu \nu o\upsilon \sigma \alpha \,\,EPL}\dfrac{PF}{PK}\cdot \dfrac{KE}{ED}\cdot \dfrac{DL}{LF}=1:\left( 4 \right)$

: Μεταβλητό σημείο επί σταθερής ευθείας.png (31.94 KiB) Προβλήθηκε 2619 φορές

Από $\left( 1 \right)\cdot \left( 2 \right)\Rightarrow \dfrac{SL}{SD}\cdot \dfrac{QD}{EQ}\cdot \dfrac{KE}{DK}\cdot \dfrac{FD}{FL}=1:\left( 5 \right)$ και από $\left( 3 \right)\cdot \left( 4 \right)\Rightarrow \dfrac{FS}{SD}\cdot \dfrac{QD}{QK}\cdot \dfrac{KE}{ED}\cdot \dfrac{DL}{LF}=1:\left( 6 \right)$

Από $\left( 5 \right),\left( 6 \right)\Rightarrow \dfrac{SL\cdot FD}{EQ\cdot DK}=\dfrac{FS\cdot DL}{QK\cdot ED}=\dfrac{SD\cdot LF}{QD\cdot KE}\Rightarrow \ldots \dfrac{ED}{DK}:\dfrac{EQ}{QK}=\dfrac{SF}{SL}:\dfrac{FD}{DL}$ και συνεπώς οι σειρές $\left( E,K,D,Q \right)$ και $\left( F,L,S,D \right)$ έχουν ίσους διπλούς λόγους οπότε και οι δέσμες B.EKDQ,B.FLSD

έχουν ίσους διπλούς λόγους και εφόσον τα ζεύγη των ομολόγων ακτινών τους $\left( BE-BK \right),\left( BF-BL \right)$ και $\left( BD-BQ \right),\left( BS-BD \right)$ σχηματίζουν ίσες γωνίες (το μεν πρώτο ζεύγος από την υπόθεση και το δεύτερο από την ταύτιση των εν λόγων γωνιών του) τότε και κάθε ομόλογο ζεύγος τους θα σχηματίζει ίσες γωνίες , δηλαδή $\angle KBD=\angle SBL\equiv \angle PBC$ και συνεπώς η

είναι ισογώνια της διαγωνίου

του δοσμένου τετραπλεύρου ABCD

ως προς τις πλευρές BA,BC

της γωνίας

, δηλαδή είναι σταθερή

#6

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 27, 2022 6:27 pm

vittasko έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 23, 2022 2:04 pm
Δίνεται τετράπλευρο και έστω $Bx,\ By$ , τυχούσες ευθείες δια της κορυφής , ισογώνιες ως προς την γωνία $\angle B$ . Επί των $Bx,\ By$ λαμβάνουμε αντιστοίχως τυχόντα σημεία $E,\ F$ και έστω τα σημεία $K\equiv BA\cap DE$ και $L\equiv BC\cap DF$ . Αποδείξτε ότι η ευθεία είναι σταθερή, όπου $P\equiv KF\cap LE$ .
f=185 t=71984.PNG
Κώστας Βήττας.
Στο μεταξύ......

Αρχικά αυτό με τις ισογώνιες δεν παίζει κανένα ρόλο, αρκεί οι ευθείες να είναι σταθερές και τότε θα είναι και η
Το γιατί, σταθεροποιώ όλα τα σημεία εκτός από το το οποίο κουνάω πάνω στην σταθερή ευθεία ,
τότε $E\rightarrow DE\rightarrow DE\cap AB=K\rightarrow FK$ είναι προβολικότητα, το είναι σταθερό επομένως και η $E\rightarrow LE$ προβολικότητα.
Έχουμε λοιπόν μια προβολική απεικόνιση $FK\rightarrow LE$ , αλλά συγχρόνως αυτή η απεικόνιση στέλνει την στον εαυτό της, αφού όταν πέσει στην τότε $K=DF\cap AB$ , άρα $FK\equiv FD$ και $LE\equiv FD$ , επομένως η τομή $FK\cap LE$ βρίσκεται σε σταθερή ευθεία, όταν το $K\equiv B, P\equiv B$ , έδειξα λοιπόν ότι η είναι ανεξάρτητη της θέσης του πάνω στην
Ομοίως είναι ανεξάρτητη της θέσης του στην και έτσι είναι σταθερή.

Πρόδρομε ,

Το προβλημα που αναφέρεις είναι διαφορετικό απο το πρόβλημα που έχει βάλει ο Κώστας

Για το πρόβλημα του Κώστα οι BE,BF

δεν έχουν σταθερή διεύθυνση απλά ειναι ισογώνιες ως προς τις BA,BC

( το μέτρο της γωνίας δεν ειναι σταθερό

#7

Στάθη, και πρόδρομε και Μάνθο (;) σας ευχαριστώ για το ενδιαφέρον σας.

Πράγματι, το πρόβλημα αληθεύει για τυχούσες τις ευθείες δια της κορυφής

, και δεν είναι απαράιτητο να είναι ισογώνιες, αρκεί αν είναι σταθερές όπως λέει ο Πρόδρομος. Είναι φανερό ότι στη γενική περίπτωση, η

είναι σταθερή, αλλά όχι ισογώνια της

.

Πρόδρομε, δεν την είδα αυτή τη γενίκευση, η οποία προκύπτει άμεσα απ' οτι βλέπω τώρα, με Διπλούς λόγους.

Θα επανέλθω από την ερχόμενη Δευτέρα, για τί θα λείψουμε από αύριο για λιγες μέρες.

Θα βάλω και εγώ μία "παπουδίστικη" λύση.

Κώστας Βήττας.

giannimani · #8

Για την περίπτωση των ισογώνιων ημιευθειών, το συμπέρασμα προκύπτει άμεσα από το γνωστό θεώρημα των ισογώνιων ευθειών:

Έστω ότι οι ηµιευθείες και είναι ισογώνιες ως προς τις πλευρές της γωνίας . Οι ευθείες και τέµνονται
στο σηµείο , και οι ευθείες και στο σηµείο . Τότε οι ηµιευθείες και είναι επίσης ισογώνιες ως προς τις πλευρές
της γωνίας .

MAnTH05 · #9

Καλησπέρα σας και συγγνώμη για την καθυστέρηση, δεν είχα πρόσβαση στον υπολογιστή μου τις προηγούμενες μέρες.

Στην πραγματικότητα θα αποδείξουμε το λήμμα του giannimani δηλαδή:

Έστω ότι οι ηµιευθείες

και

είναι ισογώνιες ως προς τις πλευρές της γωνίας $\angle KBL$ . Οι ευθείες

και

τέµνονται
στο σηµείο

, και οι ευθείες

και

στο σηµείο

. Τότε οι ηµιευθείες

και

είναι επίσης ισογώνιες ως προς τις πλευρές
της γωνίας $\angle KBL$ .

Για την απόδειξη θα χρειαστούμε κάποια θεωρία γύρω από τις ενελίξεις (involutions) σε δέσμη ευθειών που μπορεί να βρεθεί συνοπτικά εδώ:
viewtopic.php?f=185&t=66713

Από το Dual

για το σημείο

και το τετράπλευρο PKDL

λαμβάνουμε ότι τα ζεύγη (BK, BL)

,

είναι αντίστροφα ζεύγη δηλαδή της μορφής (l, f(l))

, ενέλιξης $f: L \rightarrow L$ στην δέσμη ευθειών

που διέρχεται από το

.

Από την υπόθεση οι

και

είναι ισογώνιες ως προς τις πλευρές της γωνίας $\angle KBL$ άρα η ενέλιξη που ψάχνουμε είναι συμμετρία ως προς τη διχοτόμο της $\angle KBL$ . Επομένως
οι ευθείες

και

είναι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο της $\angle KBL$ άρα ισχύει $\angle KBP = \angle LBD$
και το ζητούμενο έπεται.

Πιθανώς με το παραπάνω θεώρημα να μπορούμε να αποδείξουμε και τη γενίκευση του Πρόδρομου αφού η ενέλιξη δεν χρειάζεται να είναι κατ'ανάγκη
συμμετρία.

: λήμμα ισογώνιων ημιευθειών - σχήμα.png (258.62 KiB) Προβλήθηκε 2404 φορές

Μάνθος

giannimani · #10

Μια στοιχειώδης απόδειξη του θεωρήματος των ισογώνιων ευθειών υπάρχει στο περιοδικό
ΚΒΑΝΤ (Ρωσική έκδοση) στα τεύχη 4 και 5 της χρονιάς 2018.

#11

vittasko έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 23, 2022 2:04 pm
Δίνεται τετράπλευρο και έστω $Bx,\ By$ , τυχούσες ευθείες δια της κορυφής , ισογώνιες ως προς την γωνία $\angle B$ . Επί των $Bx,\ By$ λαμβάνουμε αντιστοίχως τυχόντα σημεία $E,\ F$ και έστω τα σημεία $K\equiv BA\cap DE$ και $L\equiv BC\cap DF$ . Αποδείξτε ότι η ευθεία είναι σταθερή, όπου $P\equiv KF\cap LE$ .

Ασ δούμε μία προσέγγιση με Διπλούς λόγους, για την γενική περίπτωση που αναφέρει ο Πρόδρομος πιο πάνω ( ανάρτηση # 4).

$\bullet$ Έστω τα σημεία $M\equiv Bx\cap DA$ και $N\equiv By\cap DC$ , όπου $Bx,\ By$ , τυχούσες ευθείες δια τησ κορυφής

.

Έστω τα σημεία $X\equiv CD\cap Bx$ και $Y\equiv CD\cap AB$ και ας είναι

, τυχόν σημείο επί της ευθείας Bx.

Η δέσμη

τέμνεται από τις ευθείες $KY,\ EX$ και άρα ισχύει $(E,M,B,X) = (K,A,B,Y)\ \ \ ,(1)$

: Μεταβλητό σημείο επί σταθερής ευθείας - 1η απόδειξη της γενίκευσης Φωτιάδη Πρόδρομου.; f=185 t=71984(a).PNG (15.7 KiB) Προβλήθηκε 2240 φορές

Από $(1)\Rightarrow$ $(C.EMBX) = (N.KABY)\ \ \ ,(2)$

Από (2)

και επειδή οι δέσμες $C.EMBX,\ N.KABY$ έχουν την $CX\equiv NY$ ως κοινή ομόλογη ακτίνα τους,

προκύπτει ότι τα σημεία $S\equiv CE\cap NK$ και $R\equiv CM\cap NA$ και $B\equiv CB\cap NB$ , είναι συνευθειακά.

Το μεταβλητό σημείο

δηλαδή, ανήκει στην σταθερή ευθεία

.

$\bullet$ Θεωρούμε τώρα το τετράπλευρο KBCD

και έστω

, τυχόν σημείο επί τηε ευθείας

.

Με όμοιο τρόπο, αποδεικνύεται ότι το μεταβλητό σημείο έστω $T\equiv KF\cap LE$ , όπου $L\equiv BC\cap DF$ , ανήκει στην σταθερή ευθεία $BS\equiv BR$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

#12

$\bullet$ Μία άλλη προσέγγιση για την συνευθειακότητα των σημείων $B,\ R,\ S$ , είναι με βάση το θεώρημα Desarques, ως άμεση εφαρμογή.

Πράγματι, τα τρίγωνα $\vartriangle EKS,\ \vartriangle MAR$ είναι προοπτικά λόγω των συνευθειακών σημείων $D\equiv EK\cap MA$ και $C\equiv ES\cap MR$ και $N\equiv KS\cap AR$ και αρα, προκύπτει $EM\cap KA\cap SR\equiv B$ .

: Μεταβλητό σημείο επί σταθερής ευθείας - 2η απόδειξη της γενίσκευσης Φωτιάδη Πρόδρομου.; f=185 t=71984(b).PNG (15.8 KiB) Προβλήθηκε 2170 φορές

$\bullet$ Ομοίως, η συνευθειακότητα των σημείων $B,\ S,\ T$ , προκύπτει από τα προοπτικά τρίγωνα $\vartriangle FLT,\ \vartriangle NCS$ λόγω των συνευθειακών σημείων $D\equiv FL\cap NC$ και $K\equiv FT\cap NS$ και $E\equiv LT\cap CS$ από όπου προκύπτει $FN\cap LC\cap TS\equiv B$ .

Κώστας Βήττας.

#13

giannimani έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 28, 2022 10:15 pm
Για την περίπτωση των ισογώνιων ημιευθειών, το συμπέρασμα προκύπτει άμεσα από το γνωστό θεώρημα των ισογώνιων ευθειών:

Έστω ότι οι ηµιευθείες και είναι ισογώνιες ως προς τις πλευρές της γωνίας . Οι ευθείες και τέµνονται
στο σηµείο , και οι ευθείες και στο σηµείο . Τότε οι ηµιευθείες και είναι επίσης ισογώνιες ως προς τις πλευρές
της γωνίας .

Με την λύση του Στάθη πιο πάνω ( ανάρτηση #5 ), αποδεικνύεται στην ουσία το γνωστό (;) θεώρημα που αναφέραι ο Γιάννης.

Θεωρείστε το τρίγωνο $\vartriangle BKL$ στο σχήμα του Στάθη, με τις ευθείες $Bx,\ By,$ ισογώνιες ως προς την γωνία $\angle B$ και το

ως τυχόν σημείο του επιπέδου του. Τότε η ευθεία

είναι ισογώνια της

ως προς την $\angle B,$ όπου $P\equiv EL\cap KF$ με $E\equiv Bx\cap DK$ και $F\equiv By\cap DL$ .

Ας δούμε παρακάτω, μία άλλη απόδειξη αυτού του αποτελέσματος, βασισμένη σε ένα άλλο θεώρημα που αφορά στις ισογώνιες ευθείες δια των κορυφών δοσμένου τριγώνου, γνωστού ως Θεώρημα Jacobi, στην διεθνή βιβλιογραφία, προσαρμόζοντας την εκφώνηση σε δοσμένο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ .

Δια της κορυφής δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC,$ φέρνουμε δύο τυχούσες ευθείες $Ax,\ Ay,$ ισογώνιες ως προς την γωνία $\angle A$ και έστω τυχόν σημείο του επιπέδου. Αποδείξτε ότι η ευθεία είναι ισογώνια της ως προς την γωνία $\angle A,$ όπου $Q\equiv BE\cap CD$ με $D\equiv Ax\cap PB$ και $E\equiv Ay\cap PC$ .

$\bullet$ Δια της κορυφής

φέρνουμε την ισογώνια ευθεία της

ως προς την γωνία $\angle B,$ η οποία τέμνει την

στο σημείο έστω

και δια της κορυφής

φέρνουμε την ισογώνια ευθεία της

ως προς την γωνία $\angle C,$ η οποία τέμνει την

στο σημείο έστω

Έστω τα σημεία $K\equiv AB\cap CF$ και $L\equiv AC\cap BE$ και $T\equiv BF\cap CZ$ και $Y\equiv BT\cap CP.$

Σύμφωνα με το Θεώρημα Jacobi, έχουμε $Q\equiv AT\cap BE\cap CD\ \ \ ,(1)$

Ομοίως, έχουμε $X\equiv AY\cap BZ\cap CD\ \ \ ,(2)$

Ομοίως έχουμε $S\equiv AP\cap BZ\cap CF\ \ \ ,(3)$

: Μεταβλητό σημείο επί σταθερής ευθείας - Απόδειξη του θεωρήματος των ισογώνιων ευθειών.; f=185 t=71984(c).PNG (20.31 KiB) Προβλήθηκε 2135 φορές

$\bullet$ Από τα συνευθειακά σημεία $X\equiv BS\cap CQ$ και $A\equiv BK\cap CL$ και $Y\equiv BF\cap CE$ τώρα, προκύπτει ότι οι δέσμες $B.CSKF,\ C.BQLE$ με την $BC\equiv CB$ ως κοινή ομόλογη αξκτίνα τους, έχουν ίσους Διπλούς λόγους.

Ισχύει δηλαδή $(B.CSKF) = (C.BQLE)\Rightarrow$ $(A.CSKF) = (A.BQLE)\ \ \ ,(4)$

Από (4)

και επειδή οι δέσμες $A.CSKF,\ A.BQLE$ έχουν $\angle CAK\equiv BAL$ και $\angle KAF = \angle LAE,$ συμπεραίνεται ότι $\angle CAS = \angle BAQ$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Στην ως άνω τεκμηρίωση γίνεται χρήση του Θεωρήματος Jacobi, με την γενικευμένη του μορφή ως Isogonic theorem, με την ακόλουθη εκφώνηση:

ISOGONIC THEOREM. Από κάθε κορυφή δοσμένου τριγώνου, φέρνουμε δύο τυχούσες ισογώνιες ευθείες ως προς την αντίστοιχη γωνία. Αποδείξτε ότι οι ευθείες που συνδέουν τις κορυφές του τριγώνου με το σημείο τομής των ισογώνιων ευθείων που πρόσκεινται στις απέναντι πλευρές, τέμνονται στο ίδιο σημείο.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Από όσο γνωρίζω, το Θεώρημα Jacobi, αναφέρεται στις ισογώνιες ευθείες δια των κορυφών του τριγώνου, ώστε να είναι όλες προς το εξωτερικό ή το εσωτερικό μέρος αυτού.

Στην γενίκευση δεν έχει σημασία ποιες ισογώνιες είναι προς το εξωτερικό μέρος του τριγώνου και ποιες είναι προς το εσωτερικό του μέρος. Ούτε έχει σημασία πως λαμβάνονται οι ισογώνιες ευθείες που πρόσκεινται στις απέναντι πλευρές του τριγώνου.

Μία απόδειξη της γενίκευσης έχει δημοσιευτεί παλιότερα (2004) στο περιοδικό ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ, τεύχος 4, σελίδα 172 και μία άλλη μεταγενέστερα (2012) στο ίδιο περιοδικό, τεύχος 6, σελίδα 98.

Η ονοματοδοσία Isogonic theorem, προτάθηκε κάποια στιγμή στο διαδίκτυο και από κάποιους έχει γίνει αποδεκτή.

Μεταβλητό σημείο επί σταθερής ευθείας.

Μεταβλητό σημείο επί σταθερής ευθείας.

Re: Μεταβλητό σημείο επί σταθερής ευθείας.

Re: Μεταβλητό σημείο επί σταθερής ευθείας.

Re: Μεταβλητό σημείο επί σταθερής ευθείας.

Re: Μεταβλητό σημείο επί σταθερής ευθείας.

Re: Μεταβλητό σημείο επί σταθερής ευθείας.

Re: Μεταβλητό σημείο επί σταθερής ευθείας.

Re: Μεταβλητό σημείο επί σταθερής ευθείας.

Re: Μεταβλητό σημείο επί σταθερής ευθείας.

Re: Μεταβλητό σημείο επί σταθερής ευθείας.

Re: Μεταβλητό σημείο επί σταθερής ευθείας.

Re: Μεταβλητό σημείο επί σταθερής ευθείας.

Re: Μεταβλητό σημείο επί σταθερής ευθείας.

Μέλη σε σύνδεση