Υπάρχει καμπή;

#1

Έστω συνάρτηση f τρεις φορές παραγωγίσιμη και γνησίως φθίνουσα στο $\Bbb{R}$ για την οποία ισχύει f(0)=1, f'(0)=0

και $\displaystyle{\lim_{x\to \infty}f(x)=0.}$
Να αποδείξετε ότι η

έχει μία πιθανή θέση σημείου καμπής.

Μπορούμε να δείξουμε ότι υπάρχει υποχρεωτικά θέση σημείου καμπής;

stranger · #2

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 23, 2022 7:23 pm
Έστω συνάρτηση f τρεις φορές παραγωγίσιμη και γνησίως φθίνουσα στο $\Bbb{R}$ για την οποία ισχύει και $\displaystyle{\lim_{x\to \infty}f(x)=0.}$
Να αποδείξετε ότι η έχει μία πιθανή θέση σημείου καμπής.

Μπορούμε να δείξουμε ότι υπάρχει υποχρεωτικά θέση σημείου καμπής;

Ισχύει

, άρα υπάρχει πιθανό σημείο καμπής.
Αφού η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα ισχύει $f{'}(x) \leq 0$ για κάθε

.
Άρα το

είναι θέση ολικού μεγίστου, οπότε από Fermat ισχύει f{''}(0)=0

.

#3

stranger έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 25, 2022 9:08 pm

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 23, 2022 7:23 pm
Έστω συνάρτηση f τρεις φορές παραγωγίσιμη και γνησίως φθίνουσα στο $\Bbb{R}$ για την οποία ισχύει και $\displaystyle{\lim_{x\to \infty}f(x)=0.}$
Να αποδείξετε ότι η έχει μία πιθανή θέση σημείου καμπής.

Μπορούμε να δείξουμε ότι υπάρχει υποχρεωτικά θέση σημείου καμπής;
Ισχύει , άρα υπάρχει πιθανό σημείο καμπής.
Αφού η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα ισχύει $f{'}(x) \leq 0$ για κάθε .
Άρα το είναι θέση ολικού μεγίστου, οπότε από Fermat ισχύει .

Δεν έχουμε πληροφορίες για τις τιμές της

αριστερά του μηδενός, οπότε το παραπάνω συμπέρασμα δεν ισχύει -- προφανές αντιπαράδειγμα η f(x)=1-x^2

(κατάλληλα τροποποιημένη για μεγάλα θετικά

).

Όπως πάντως 'δείχνει' το παραπάνω παράδειγμα, σίγουρα υπάρχουν σημεία κοιλότητας κοντά στο μηδέν: πράγματι, από ΘΜΤ ισχύει η $f'(x)-f'(0)=f''(\xi)(x-0)$ και $f'(x)=f''(\xi)x$ , οπότε $f''(\xi)<0$ λόγω των f'(x)<0

και

.

Αντίστοιχα υπάρχουν σημεία κυρτότητας κοντά στο άπειρο: άμεσο από ΘΜΤ και $f'(x)-f'(1/2)=f''(\xi)(x-1/2)$ στην περίπτωση που υπάρχει x>1/2

[ $\xi>1/2$ ]τέτοιο ώστε f'(x)>f'(1/2)

[ $f'(\xi)>f'(1/2)$ ], στην αντίθετη περίπτωση η $f(x)-f(1/2)=f'(\xi)(x-1/2)\leq f'(1/2)(x-1/2)$ δίνει $lim_{x\to \infty}f(x)}=-\infty$ , άτοπο.

Λόγω πλέον ύπαρξης της f'''

και συνεχείας της f''

... συμπεραίνουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο μηδενισμού της f''

.

Είναι το παραπάνω σημείο μηδενισμού της f''

σημείο καμπής της

; Τα σημεία αρνητικότητας της f''

και τα σημεία θετικότητας της f''

είναι ανοικτά σύνολα (λόγω συνεχείας της f''

), άρα ενώσεις αριθμησίμου το πολύ σε πλήθος ανοικτών διαστημάτων. Σκέφτομαι ότι θα μπορούσαμε να έχουμε αριθμησίμου πλήθους διαστήματα αρνητικότητας με μήκη τείνοντα στο μηδέν μέχρι κάποιο σημείο x_0

και από εκεί και πέρα, ανάποδα, αριθμησίμου πλήθους διαστήματα θετικότητας με αυξανόμενα μήκη: το x_0

ΔΕΝ θα ήταν σημείο καμπής καθώς θα είχαμε άπειρα σημεία μηδενισμού της f''

εκατέρωθεν του -- αυτά τα σημεία μηδενισμού θα 'διαχώριζαν' τα διαστήματα αρνητικότητας μεταξύ τους (το κάθε διάστημα από το επόμενο του) και, αναλόγως, θα 'διαχώριζαν' τα διαστήματα θετικότητας μεταξύ τους.

Άλλο πιθανό, πολύ απλούστερο, αντιπαράδειγμα (κάπως 'προβληματικό' και αυτό): μία συνάρτηση κοίλη στο (0,a)

, ευθεία αρνητικής κλίσης στο [a,b]

, και κυρτή στο $(b, \infty)$ . [Η ύπαρξη και κατασκευή μιας τέτοιας συνάρτησης -- με 'διάστημα καμπής' αντί σημείου καμπής -- φαίνεται απλή, αν όμως τεθεί θέμα ύπαρξης τρίτης παραγώγου (ή ύπαρξης όλων των παραγώγων) -- τότε τα πράγματα αλλάζουν! (Θα επαναφέρω μετά τις διακοπές αν δεν υπάρξουν πληρέστερες απαντήσεις...)]

stranger · #4

gbaloglou έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 04, 2022 7:36 pm
Δεν έχουμε πληροφορίες για τις τιμές της αριστερά του μηδενός, οπότε το παραπάνω συμπέρασμα δεν ισχύει.

Κάτι δεν κατάλαβες καλά.
Αφού η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ , υποχρεωτικά θα έχουμε ότι $f{'}(x) \leq 0$ για κάθε

στο $\mathbb{R}$ , λόγω μονοτονίας και συνέχεια της πρώτη παραγώγου(αν υπήρχε x_0

ώστε $f{'}(x_0)>0$ , τότε λόγω συνέχειας της παραγώγου η παράγωγος θα ήταν θετική κοντά στο x_0

, άρα και γνησίως αύξουσα εκεί το οποίο είναι άτοπο.)
Άρα έχουμε $f{'}(x) \leq f{'}(0)=0$ για κάθε

πραγματικό.
Άρα η παράγωγος έχει ολικό μέγιστο στο

, το οποίο σημαίνει ότι f{''}(0)=0

, από Fermat.

#5

stranger έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 05, 2022 7:40 pm

gbaloglou έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 04, 2022 7:36 pm
Δεν έχουμε πληροφορίες για τις τιμές της αριστερά του μηδενός, οπότε το παραπάνω συμπέρασμα δεν ισχύει.
Κάτι δεν κατάλαβες καλά.
Αφού η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ , υποχρεωτικά θα έχουμε ότι $f{'}(x) \leq 0$ για κάθε στο $\mathbb{R}$ , λόγω μονοτονίας και συνέχεια της πρώτη παραγώγου(αν υπήρχε ώστε $f{'}(x_0)>0$ , τότε λόγω συνέχειας της παραγώγου η παράγωγος θα ήταν θετική κοντά στο , άρα και γνησίως αύξουσα εκεί το οποίο είναι άτοπο.)
Άρα έχουμε $f{'}(x) \leq f{'}(0)=0$ για κάθε πραγματικό.
Άρα η παράγωγος έχει ολικό μέγιστο στο , το οποίο σημαίνει ότι , από Fermat.

ΌΝΤΩΣ, το "φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ " το διάβασα ως "φθίνουσα στο $\mathbb{R^+}$ " .... και κάτι μου λέει ότι αυτό εννοούσε ο Θανάσης, καθώς αυτό καθιστά το πρόβλημα ενδιαφέρον!

Υπάρχει καμπή;

Υπάρχει καμπή;

Re: Υπάρχει καμπή;

Re: Υπάρχει καμπή;

Re: Υπάρχει καμπή;

Re: Υπάρχει καμπή;

Μέλη σε σύνδεση