Ψηφία

#1

Βρείτε όλους τους τετραψήφιους αριθμούς $\displaystyle{\overline{abcd}}$ με άθροισμα των ψηφίων ίσο με

έτσι ώστε $\overline{ab} − \overline{cd} = 1.$

fmak65 · #2

Αφού $\overline{ab}-\overline{cd}=1$ θα πρέπει τα b , d να διαφέρουν κατά 1 μονάδα και τα a , c να είναι ίσα ή να διαφέρουν κατά μία μονάδα μόνο στην περίπτωση που b=0 & d=9. Αν τα a,c είναι ίσα τα b,d θα διαφέρουν κατά μία μονάδα και a+c=ζυγός , b+d = μονός , οπότε το άθροισμα δεν μπορεί να είναι το 12 (ζυγός). Οπότε b=0 & d=9 και υποχρεωτικά a=2 & c=1. δηλαδή ο μοναδικός αριθμός είναι ο 2019.

#3

socrates έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 01, 2022 4:34 pm
Βρείτε όλους τους τετραψήφιους αριθμούς $\displaystyle{\overline{abcd}}$ με άθροισμα των ψηφίων ίσο με έτσι ώστε $\overline{ab} − \overline{cd} = 1.$

Απάντηση: Μόνο ο 2019

.

Οι υποθέσεις γράφονται $a+b+c+d=12,\,(*)$ και 10a+b-(10c+d)=1

. Άρα $10(a-c)= d+1-b \, (**)$ . Από την δεύτερη $10(a-c) \ge 0+1-9=-8$ και $10(a-c)\le 9+1-0=10$ . Συμπεραίνουμε ότι είτε a-c=0

ή

και άρα από την (**)

έχουμε αντίστοιχα b=d+1

ή

.

Από την a-c=0

και την

η

δίνει

, άρα

, αδύνατη. Μένει λοιπόν η εκδοχή $a-c=1,\, d=b+9$ . Η δεύτερη δίνει $b=0,\, d=9$ οπότε από την (*)

έχουμε

. Άρα

και

. Συνεπώς $\overline{abcd}= 2019$ , που ικανποποιεί τις συνθήκες.

Ψηφία

Ψηφία

Re: Ψηφία

Re: Ψηφία

Μέλη σε σύνδεση