Εγένετο Παραλληλόγραμμο

giannimani · #1

: paral.png (27.4 KiB) Προβλήθηκε 752 φορές

Με τις πλευρές ενός κυρτού τετραπλεύρου ABCD

ως βάσεις, κατασκευάζουμε τα τέσσερα όμοια ισοσκελή τρίγωνα ABM

,

και

, με τα δύο πρώτα να βρίσκονται στο εξωτερικό, και τα δύο υπόλοιπα στο εσωτερικό του τετραπλεύρου. Να αποδείξετε ότι το MNPQ

είναι παραλληλόγραμμο.

cool geometry · #2

$\boldsymbol{\bigtriangleup ABM\sim \bigtriangleup BCN:\frac{AB}{BM}=\frac{BC}{BN},\measuredangle MBN=\measuredangle ABC,}$ άρα θα είναι $\boldsymbol{\bigtriangleup MBN\sim \bigtriangleup ABC(1).}$
$\boldsymbol{\bigtriangleup ADQ\sim \bigtriangleup CDP:\frac{QD}{DA}=\frac{DP}{CD},\measuredangle ADC=\measuredangle PDQ,}$ άρα θα είναι $\boldsymbol{\bigtriangleup ADC\sim \bigtriangleup PDQ(2).}$
$\boldsymbol{\bigtriangleup ABM\sim \bigtriangleup ADQ:\frac{AB}{AM}=\frac{AD}{AQ},\measuredangle MAQ=\measuredangle BAD,}$ άρα θα είναι $\boldsymbol{\bigtriangleup AMQ\sim \bigtriangleup ABD(3).}$
$\boldsymbol{\bigtriangleup BCN\sim CDP:\frac{CN}{BC}=\frac{CP}{CD},\measuredangle BCD=\measuredangle NCP,}$ άρα θα είναι $\boldsymbol{\bigtriangleup BCD\sim \bigtriangleup NCP(4).}$
Από $\boldsymbol{(1),(2)\Rightarrow \frac{MN}{AC}=\frac{BM}{AB}=\frac{QD}{DA}=\frac{PQ}{AC}\Rightarrow MN=PQ(5).}$
Από $\boldsymbol{(3),(4)\Rightarrow \frac{AQ}{AD}=\frac{MQ}{BD}=\frac{BN}{BC}=\frac{NP}{BD}\Rightarrow MQ=NP(6).}$
Από $\boldsymbol{(5),(6)\Rightarrow MN=PQ,MQ=NP\Rightarrow MNPQ}$ παραλληλόγραμμο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Εγένετο Παραλληλόγραμμο

Εγένετο Παραλληλόγραμμο

Re: Εγένετο Παραλληλόγραμμο

Μέλη σε σύνδεση