Ριζικά

apotin · #1

Αν $\displaystyle{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 1}$ τότε, να δείξετε ότι $\displaystyle{x + y = 0}$

#2

Πολλαπλασιάζουμε με το συζυγές της παράστασης $\displaystyle{x+\sqrt{x^2 +1}}$ και βρίσκουμε:

$\displaystyle{-(y+\sqrt{y^2 +1})=x-\sqrt{x^2 +1}\Rightarrow x+y=\sqrt{x^2 +1}-\sqrt{y^2 +1} \Rightarrow (x+y)^2=(\sqrt{x^2 +1}-\sqrt{y^2 +1})^2 \Rightarrow }$

$\displaystyle{\sqrt{(x^2 +1)(y^2 +1)}=1-xy\Rightarrow (\sqrt{(x^2 +1)(y^2 +1)})^2 = (1-xy)^2 \Rightarrow (x+y)^2 =0\Rightarrow x+y=0}$

#3

$x+\sqrt{x^2+1}=\dfrac{1}{y+\sqrt{y^2+1}}=\dfrac{-y+\sqrt{y^2+1}}{\left(\sqrt{y^2+1} \right)^2-y^2}=-y+\sqrt{y^2+1}$

οπότε

$x+y+\sqrt{x^2+1}-\sqrt{y^2+1}=0$

$x+y+\dfrac{\left(x-y \right)\left(x+y \right)}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}=0$

και συνεπώς

x+y=0

ή $\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}=-x+y.$

Η δεύτερη περίπτωση είναι αδύνατη αφού $\sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2}=\left|x \right|\geq -x$ και $\sqrt{y^2+1}>\sqrt{y^2}=\left|y \right|\geq y.$

Christos.N · #4

Έχουμε, $\displaystyle{ x + \sqrt {x^2 + 1} ,y + \sqrt {y^2 + 1} \ne 0 }$

$\displaystyle{ \left. \begin{array}{l} \left( {x + \sqrt {x^2 + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {y^2 + 1} } \right) = 1 \\ \left( {\sqrt {x^2 + 1} + x} \right)\left( {\sqrt {x^2 + 1} - x} \right) = 1 \\ \end{array} \right\}\mathop \Rightarrow \limits^/ \sqrt {x^2 + 1} - x = y + \sqrt {y^2 + 1} \cdot \cdot \cdot (1) }$

$\displaystyle{ \left. \begin{array}{l} \left( {x + \sqrt {x^2 + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {y^2 + 1} } \right) = 1 \\ \left( {\sqrt {y^2 + 1} + y} \right)\left( {\sqrt {y^2 + 1} - y} \right) = 1 \\ \end{array} \right\}\mathop \Rightarrow \limits^/ x + \sqrt {x^2 + 1} = \sqrt {y^2 + 1} - y \cdot \cdot \cdot (2) }$

$\displaystyle{ (1),(2)\mathop \Rightarrow \limits^ + 2\sqrt {x^2 + 1} = 2\sqrt {y^2 + 1} \Rightarrow x^2 - y^2 = 0 \Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 0 \\ x = y \\ \end{array} \right. }$

$\displaystyle{ {\rm A}\nu \,\,\,x = y,\,\,\left( {x + \sqrt {x^2 + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {y^2 + 1} } \right) = 1\mathop \Rightarrow \limits^{x = y} \left( {x + \sqrt {x^2 + 1} } \right)^2 = 1\mathop \Rightarrow \limits^{\sqrt {x^2 + 1} \,\, > \,\,x} x + \sqrt {x^2 + 1} = 1 \Rightarrow \sqrt {x^2 + 1} = 1 - x \Rightarrow x = 0 }$

Άρα σε κάθε περίπτωση, $\displaystyle{ x + y = 0 }$

Άρης Μερσιέ · #5

Μια λύση εκτός φακέλου με χρήση αντίστροφων υπερβολικών συναρτήσεων:
Συγκεκριμένα, θα θεωρήσω δεδομένες τις παρακάτω απλές ιδιότητες της συνάρτησης $\sinh^{-1} :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

$\sinh^{-1}x = \ln(x+\sqrt{x^2+1})$ ,

Είναι περιττή,

Είναι

ΛΥΣΗ

$(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1$

$\Rightarrow \ln [(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})]= \ln 1$

$\Rightarrow \ln(x+\sqrt{x^2+1}) + \ln(y+\sqrt{y^2+1}) = 0$

εφόσον $x+\sqrt{x^2+1} > 0 \ \forall x \in \mathbb{R})$

$\Rightarrow \sinh^{-1}x + \sinh^{-1}y = 0$

$\Rightarrow \sinh^{-1}x=-\sinh^{-1}y=\sinh^{-1}(-y)$

$\Rightarrow x=-y \Rightarrow x+y=0 \ \blacksquare$

Ριζικά

Ριζικά

Re: Ριζικά

Re: Ριζικά

Re: Ριζικά

Re: Ριζικά

Μέλη σε σύνδεση