Το πιο δύσκολο υποερώτημα των πανελλαδικών

[stelmarg]

Το 4 (β) των πανελλαδικών του 2003 είναι κατα τη γνώμη μου ότι πιο δύσκολο έχει πέσει στις πανελλήνιες, μήπως έχει βρει κανένας καμιά απλούστερη λύση απ΄αυτήν που έχουν γράψει τα περισσότερα φροντιστήρια?

εγώ έκανα μια σκέψη και θα ήθελα να ρωτήσω αν είναι σωστή:

Aς υποθέσουμε πως για κάθε χ που ανήκει στο [α,β] ισχεί f ''(x)>0 (ή αντίστοιχα f ''(x)<0)
άρα η f '(x) γνησίως αυξουσα (γνησίως φθίνουσα)
τότε καταλήγουμε σε άτοπο αφού η f (x) μηδενίζεται στα άκρα f (α), f (β) και σ΄ένα ενδιάμεσο σημείο χο από το 1ο ερώτημα
άρα αν κάνουμε 2φορές Θ. ROLLE στα [α,χο] και [χο,β] βγαίνει άτοπο ότι η f '(x) μονότονη

[Dimitris X]

Ακριβώς αυτή είναι η λύση που σκέφτηκα και εγώ μόλις τώρα....Που είδα την άσκηση.....Δεν νομίζω να κολάει κάπου....Και δεν νομίζω ότι ήταν ένα από τα δυσκολότερα θέματα των πανελληνίων.....

[nsmavrogiannis]

Το 4 (β) των πανελλαδικών του 2003 είναι κατα τη γνώμη μου ότι πιο δύσκολο έχει πέσει στις πανελλήνιες, μήπως έχει βρει κανένας καμιά απλούστερη λύση απ΄αυτήν που έχουν γράψει τα περισσότερα φροντιστήρια?

εγώ έκανα μια σκέψη και θα ήθελα να ρωτήσω αν είναι σωστή:

Aς υποθέσουμε πως για κάθε χ που ανήκει στο [α,β] ισχεί f ''(x)>0 (ή αντίστοιχα f ''(x)<0)
άρα η f '(x) γνησίως αυξουσα (γνησίως φθίνουσα)
τότε καταλήγουμε σε άτοπο αφού η f (x) μηδενίζεται στα άκρα f (α), f (β) και σ΄ένα ενδιάμεσο σημείο χο από το 1ο ερώτημα
άρα αν κάνουμε 2φορές Θ. ROLLE στα [α,χο] και [χο,β] βγαίνει άτοπο ότι η f '(x) μονότονη

Στέλιο η προσέγγιση σου έχει ένα αδύνατο σημείο που έχει να κάνει με το ποια είναι ή άρνηση του αποδεικτέου. Ωστόσο μπορεί να οδηγήσει σε απόδειξη με κάποιες μικρές τροποποιήσεις:
Αν δεν ισχύει το αποδεικτέο δηλαδή αν αποτυγχάνει η να πάρει ετερόσημες τιμές τότε (αυτή είναι η άρνηση του αποδεικτέου):
(1) ή θα είναι για όλα τα
(2) είτε θα είναι για όλα τα
Στην πρώτη περίπτωση η θα είναι αύξουσα (εδώ εφαρμόζουμε μία απλή συνέπεια του θεωρήματος μέσης τιμής: αν η παράγωγος είναι μη αρνητική σε ένα διάστημα τότε συνάρτηση είναι αύξουσα: δεν το λέει το βιβλίο αλλά αποδεικνύεται όπως και στην περίπτωση όπου έχουμε θετική παράγωγο). Από το α) η έχει μία ρίζα ας την πούμε . Τότε στο
η είναι μικρότερη ή ίση του μηδενός και στο είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός. Αυτό έχει ως συνέπεια ότι η στο να είναι φθίνουσα και στο να είναι αύξουσα. Άρα αφού στο θα είναι για όλα τα . 'Ατοπο διότι η παίρνει και θετικές τιμές. Στην δεύτερη περίπτωση καταλήγουμε σε άτοπο όμοια ή αλλιώς αναγόμενοι στην πρώτη θεωρώντας την .
Tα πολλά λόγια που έγραψα γίνονται λίγα αν φτιάξουμε ένα πινακάκι.
ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ: Το γ) ως γνωστό είναι λάθος. Επίσης γνωστό είναι ότι πάρα πολλά φροντιστήρια το έλυσαν και αυτό!
Μαυρογιάννης
ΠΡΟΣΘΗΚΗ 21-03-2010
Διόρθωσα δύο τυπογραφικά που είχε την καλωσύνη να επισημάνει ο Αντώνης Κυριακόπουλος τον οποίο ευχαριστώ (είχα γράψει τα διαστήματα ως εάν η να ορίζεται στα ) και επισυνάπτω και ένα πινακάκι για να υπάρχει:

2003.png (4.58 KiB) Προβλήθηκε 7925 φορές

[Α.Κυριακόπουλος]

Το 4 (β) των πανελλαδικών του 2003 είναι κατα τη γνώμη μου ότι πιο δύσκολο έχει πέσει στις πανελλήνιες, μήπως έχει βρει κανένας καμιά απλούστερη λύση απ΄αυτήν που έχουν γράψει τα περισσότερα φροντιστήρια?

εγώ έκανα μια σκέψη και θα ήθελα να ρωτήσω αν είναι σωστή:

Aς υποθέσουμε πως για κάθε χ που ανήκει στο [α,β] ισχεί f ''(x)>0 (ή αντίστοιχα f ''(x)<0)
άρα η f '(x) γνησίως αυξουσα (γνησίως φθίνουσα)
τότε καταλήγουμε σε άτοπο αφού η f (x) μηδενίζεται στα άκρα f (α), f (β) και σ΄ένα ενδιάμεσο σημείο χο από το 1ο ερώτημα
άρα αν κάνουμε 2φορές Θ. ROLLE στα [α,χο] και [χο,β] βγαίνει άτοπο ότι η f '(x) μονότονη

Η άρνηση της πρότασης:
« Υπάρχει με »
είναι:
«Για κάθε , ισχύει » ( Μαθηματική Λογική)
(και όχι «Για κάθε , ισχύει»)
Από αυτή έπεται ότι η παράγωγος f’ είναι αύξουσα στο (α, β) ( και όχι γνησίως αύξουσα) και επομένως δεν προκύπτει κανένα άτοπο.
Η παραπάνω λύση δεν είναι σωστή.

[R BORIS]

κοίτα και ΕΔΩ 7 τρόπους

[Mihalis_Lambrou]

ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ: Το γ) ως γνωστό είναι λάθος. Επίσης γνωστό είναι ότι πάρα πολλά φροντιστήρια το έλυσαν και αυτό!

Για την ιστορία, ώστε να τα βλέπουν οι πιο νέοι, είχε γίνει τότε μεγάλος ντόρος αν το θέμα είναι σωστό ή λάθος.
Δυστυχώς μερικοί, ακόμα και επίσημοι, δεν στάθηκαν στο ακαδημαϊκό ύψος που απαιτούσε η περίσταση. Όχι μόνο δεν είπαν ευθαρσώς, όταν ρωτήθηκαν, ότι το θέμα είναι λάθος, αλλά δημοσίευσαν στον ημερήσιο τύπο απίστευτες αμετροέπειες.
Η πιο ακραία ήταν συνέντευξη στην Ελευθεροτυπία με, ουσιαστικά, τον εξής διάλογο με δημοσιογράφο (*):

ΔΗΜΟΣΙΟΓΡΑΦΟΣ: Πείτε μου ευθέως κύριε <...> τελικά το θέμα είναι σωστό ή λάθος.
ΚΥΡΙΟΣ <...>: Το αν το θέμα είναι σωστό ή λάθος εξαρτάται από ποια θεωρήματα θεωρεί σωστά ή όχι ο κάθε πανεπιστημιακός.

Τα σχόλια περιττά.


(*) Για λόγους κοσμιότητας δεν θα καταγράψω εδώ το όνομα του υψηλού λέγοντος ώστε να μην αναμοχλεύω περασμένα (αλλά όχι ξεχασμένα). Άλλωστε μπορεί ο ίδιος να μην διαβάσει τα παραπάνω, οπότε δεν θα μπορέσει να απαντήσει. Ας προσθέσω ότι ο στόχος μου δεν είναι να τον εκθέσω αλλά να καταγράψω ένα περιστατικό με τον ντόρο που δημιουργήθηκε.

[chris_gatos]

Αυτό που λείπει ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΑ απο αυτήν τη χώρα είναι το
mea culpa.

Να βγαίνει (πρωτίστως) ο εκάστοτε ΕΠΙΦΑΝΗΣ και να ζητάει συγνώμη για τα υποδεικνυόμενα λάθη του.
Οι πολιτικοί και οι ακαδημαικοί θα έπρεπε να δίνουν το καλό παράδειγμα, γιατί κρέμονται πολλές τύχες απο τα χέρια τους.
Δυστυχώς συμβαίνει εντελώς το αντίθετο.
C'est la vie, που λένε και οι Γάλλοι.
Life goes on anyway, που λένε και οι Άγγλοι.
Ας αισιοδοξούμε παρ'όλα αυτά.

Καλημέρα!

[Α.Κυριακόπουλος]

Επειδή δεν πρέπει να ξεχνάμε την ιστορία μας, παραθέτω τι είχα πει τότε δημόσια το 2003 και τις δύο επιστολές που είχα στείλει για το θέμα 4γ ( και τότε... ένιωθα απέραντη μοναξιά).

Άρθρο της εφημερίδας « ελεύθερος τύπος» 31 Μαΐου 2003.
Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΓΚΑΛΥΨΗΣ
…Όπως εξήγησε στον «Ε.Τ.» ο έμπειρος μαθηματικός, πολυγραφότατος συγγραφέας, μέλος της Μαθηματικής Εταιρείας και μέλος της συντακτικής επιτροπής του περιοδικού «Ευκλείδης Β΄», κ. Αντώνης Κυριακόπουλος το επίμαχο θέμα 4γ είναι λάθος, διότι ζητούσε να δειχθεί κάτι που δεν ισχύει.
Ζητούσε το αδύνατο.
Συγκεκριμένα ζητούσε να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης έχει ένα τουλάχιστον σημείο καμπής, ενώ μπορεί να μην έχει κανένα, όπως μπορούμε να δούμε σε ένα αντιπαράδειγμα.
Δυστυχώς, όπως επισήμανε ο κ. Κυριακόπουλος, «τόσο οι ενδεικτικές λύσεις της κεντρικής επιτροπής εξετάσεων όσο και οι λύσεις σε όσες εφημερίδες διάβασα, είναι λανθασμένες. Μα δεν υπάρχει λύση», υπογραμμίζει ο έμπειρος μαθηματικός, ο οποίος αναφερόμενος στη στάση της Μαθηματικής Εταιρίας κάνει λόγο για προσπάθεια συγκάλυψης του θέματος.
«Η ΕΜΕ δεν λέει τα πράγματα με το όνομά τους, προσπαθεί να συγκαλύψει το θέμα συμβουλεύοντας τους βαθμολογητές να δείξουν επιείκεια. Θα ήθελα» καταλήγει, « ως μέλος της ΕΜΕ να διαχωρίσω τη θέση μου».

1η επιστολή ( εφημερίδα «ελεύθερος τύπος»:2 Ιουνίου 2003)
ΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΦΘΟΥΝ ΟΙ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Μερικοί που θέλουν να συγκαλύψουν το πρόβλημα των Μαθηματικών Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου (γιατί;) κάνουν λόγο για λαϊκισμό. Θα ήθελα όμως να τους ρωτήσω, αφού η Κεντρική Επιτροπή Εξετάσεων ισχυρίζεται ότι δεν υπάρχει πρόβλημα στο θέμα 4γ:
Α. Γιατί δεν δίνει μια ξεκάθαρη λύση στο θέμα αυτό (πού να τη βρει ,αφού δεν υπάρχει) αντί με αυτά που λέει να υποτιμά τη νοημοσύνη μας; ( Αλήθεια, οι καθηγητές Μαθηματικών των Πανεπιστημίων μας που είναι; Δεν έχουν γνώμη; Γιατί δεν παίρνουν θέση; Τι φοβούνται;).
Β. Γιατί με ημερομηνία 13/5/2003 έστειλε οδηγία στα βαθμολογικά κέντρα που λέει ότι αν ένας μαθητής αποδείξει ότι η δεύτερη παραγωγός σε ένα σημείο ξ του διαστήματος (α, β) είναι 0 και ότι σε κάποιο σημείο του διαστήματος (α, ξ) έχει αντίθετο πρόσημο από αυτό που έχει σε ένα σημείο του διαστήματος (ξ, β), να βαθμολογηθεί με το σύνολο των μορίων του ερωτήματος; Δηλαδή, μας λέει ότι τότε η συνάρτηση στη θέση ξ έχει σημείο καμπής που ζητεί το θέμα 4γ, αφού ο μαθητής θα πάρει το σύνολο των μορίων του ερωτήματος. Αλλά και ένας μέτριος μαθητής γνωρίζει ότι αυτό δεν αποδεικνύει ότι η συνάρτηση στη θέση ξ έχει σημείο καμπής. Δεν θέλω να πιστέψω ότι οι μαθηματικοί της Κεντρικής Επιτροπής Εξετάσεων δεν ξέρουν πότε μια συνάρτηση σε μια θέση έχει σημείο καμπής. Αλλά τότε πώς είναι δυνατόν να ισχυρίζονται τα παραπάνω;
Δεν πρόκειται λοιπόν για λαϊκισμό. Πρόκειται για το διάβασμα των μαθητών ενός ολόκληρου έτους. Πρόκειται για την τύχη των χιλιάδων μαθητών, οι οποίοι έχασαν τον χρόνο τους με το θέμα 4γ και δεν πρόφθασαν να γράψουν τα άλλα θέματα. Γι' αυτό και η πρόταση της Μαθηματικής Εταιρείας που λέει τα μισά να τα θεωρούμε ολόκληρα δεν με βρίσκει σύμφωνο. Η Μαθηματική Εταιρεία είναι επιστημονικό σωματείο και αν θέλει να μη βλάψει το κύρος της θα πρέπει να μην προσπαθεί να συγκαλύψει το θέμα αλλά να πει ξεκάθαρα αυτό που συμβαίνει, ότι δηλαδή το θέμα 4γ είναι λάθος. Μήπως το κάνει επειδή υπάρχουν μαθηματικοί στην Κεντρική Επιτροπή Εξετάσεων, οι οποίοι είναι στο 15μελές Δ.Σ. της Μαθηματικής Εταιρείας; Κατά τη γνώμη μου, η μόνη λύση είναι να επαναληφθούν οι εξετάσεις στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης.
Αντώνης Κυριακόπουλος
Μαθηματικός

2η επιστολή ( εφημερίδα «ελεύθερος τύπος»: 9 Ιουνίου 2003)
ΥΠΟΤΙΜΟΥΝ ΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ ΜΑΣ
Στο κείμενο που εξέδωσε στις 4/6/2003 η Κεντρική Επιτροπή Εξετάσεων (ΚΕΕ) εξακολουθεί να υποτιμά τη νοημοσύνη μας. Σχετικά με το κείμενο αυτό έχω να παρατηρήσω τα εξής:
α) Με βάση την εξεταστέα ύλη, τις ενδεικτικές λύσεις και τις πρόσθετες οδηγίες της ΚΕΕ, δεν μπορεί να διορθωθεί το θέμα 4γ, αφού στις ενδεικτικές λύσεις δεν δικαιολογείται το συμπέρασμα του θέματος αυτού και η πρόσθετη οδηγία δίνει λανθασμένη λύση. Όσο περισσότερες λύσεις στέλνουν για το θέμα αυτό τόσο περισσότερο εκτίθενται, αφού το θέμα είναι λάθος και δεν υπάρχει λύση.
β) Ας δώσει η ίδια η ΚΕΕ « απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη» στο θέμα 4γ και μετά να περιμένει να απαντήσουν οι μαθητές.
γ) Ποιος φόρτισε και εξακολουθεί να φορτίζει το κλίμα; Προφανώς η ΚΕΕ, που δίνει λάθος θέματα, λάθος λύσεις, λάθος οδηγίες και εκδίδει κείμενα σαν αυτό που εξέδωσε. Στο φορτισμένο κλίμα συνέβαλε και η στάση της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας (Ε.Μ.Ε.), η οποία, λόγω σκοπιμοτήτων (μόνο;) δεν στάθηκε στο ύψος των περιστάσεων. Κύκλοι της Ε.Μ.Ε. για να περισώσουν το επιστημονικό κύρος των μελών της επιτροπής ( μερικά μέλη της είναι στο 15μελές Δ.Σ. της Ε.Μ.Ε.) φτάνουν στο σημείο να διαστρεβλώνουν τα μαθηματικά, ώστε το θέμα 4γ να γίνεις σωστό. Και επειδή αυτό είναι αδύνατο, το μόνο που πετυχαίνουν είναι να εκτίθεται.
δ) Η βαθμολόγηση των γραπτών, παρά τις διαμαρτυρίες των βαθμολογητών, συνεχίζεται και θα ολοκληρωθεί, χωρίς ενιαίο τρόπο βαθμολόγησης. Η αλλοίωση των αποτελεσμάτων θα είναι πολύ μεγαλύτερη απ' ό,τι φαίνεται εκ πρώτης όψεως. Ένας μαθητής ,για λίγα μόρια, μπορεί να μην εισαχθεί σε καμία από τις σχολές των πρώτων προτιμήσεών του και να αναγκαστεί να σπουδάσει κάτι που δεν του αρέσει. Το χειρότερο είναι ότι περισσότερο θα αδικηθούν οι καλοί μαθητές, οι οποίοι στην πλειοψηφία τους αρχίζουν να γράφουν από τα πιο δύσκολα θέματα και προτιμούν να μη γράψουν τίποτα στο καθαρό παρά να γράψουν κάτι που γνωρίζουν ότι είναι λάθος
(οδηγία βαθμολόγησης).
 Αυτό που έγινε εφέτος, να δίνονται λάθος θέματα και να στέλνονται από την επιτροπή λανθασμένες λύσεις και οδηγίες, έχει γίνει πολλές φορές στο παρελθόν. Υπενθυμίζω τις χαρακτηριστικότερες περιπτώσεις:
1) 1988. Από την επιτροπή εστάλη στα βαθμολογικά κέντρα λανθασμένη οδηγία για τη βαθμολόγηση του ζητήματος 1Β και λανθασμένη απάντηση για το ζήτημα 2Β της Α΄ Δέσμης.
2) 1991. Από την επιτροπή εστάλη στα βαθμολογικά κέντρα λανθασμένη οδηγία για τη βαθμολόγηση του ζητήματος 2Β της Δ΄ δέσμης.
3) 1997. Στις λύσεις της Α΄ δέσμης που έστειλε η επιτροπή στα βαθμολογικά κέντρα υπήρχαν λάθη στα ζητήματα 2Α ,1Β και 2Β. Επίσης υπήρχαν λάθη και στη λύση του ζητήματος 3Β της Δ΄ δέσμης.
4) 2000. Από την επιτροπή εστάλη στα βαθμολογικά κέντρα λανθασμένη λύση του θέματος 4Β2 της Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β΄ Λυκείου.
-Δυστυχώς η Μαθηματική Εταιρεία το 1993 δημοσίευσε στις εφημερίδες λανθασμένη λύση του ζητήματος 1Αβ της Α΄ δέσμης ( στη λύση μιας άσκησης εφάρμοζαν την προσεταιριστική ιδιότητα στο εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων!!!)( όλα τα παραπάνω λάθη τα έχω δημοσιεύσει στις εφημερίδες).
Για όλα αυτά δεν ευθύνονται βέβαια τα Μαθηματικά, αλλά μερικοί Μαθηματικοί. Τα μαθηματικά είναι η πιο σαφής επιστήμη. Γιατί στις άλλες χώρες δεν συμβαίνουν όλα αυτά; Για παράδειγμα στη Γαλλία έχουν το Μπακαλορεά για περίπου έναν αιώνα και όχι μόνον δεν γίνονται λάθη, αλλά αντιθέτως κάθε χρόνο εμφανίζονται στα θέματα πληθώρα πρωτότυπων και ωραίων ασκήσεων. Το ίδιο συμβαίνει και στη Μεγάλη Βρετανία, που έχουν το GCE. Βέβαια, εκεί δεν γίνονται αλλαγές κάθε λίγο και λιγάκι στον τρόπο εισαγωγής στην τριτοβάθμια εκπαίδευση. Επίσης, εκεί οι εξετάσεις και γενικότερα η παιδεία δεν είναι πεδίο πολιτικής αντιπαράθεσης. Εκεί υπάρχει αξιοκρατία. Εδώ υπάρχει;
Αντώνης Κυριακόπουλος
Μαθηματικός

[Στέλιος Μαρίνης]

Επειδή δεν πρέπει να ξεχνάμε την ιστορία μας, παραθέτω τι είχα πει τότε δημόσια το 2003 και τις δύο επιστολές που είχα στείλει για το θέμα 4γ ( και τότε... ένιωθα απέραντη μοναξιά).

'Οχι και μοναξιά. Πολύς κόσμος είχε ξεσηκωθεί. Ολόκληρα εξεταστικά κέντρα είχαν αρνηθεί να βαθμολογήσουν και ένα έδωσε και συνέντευξη τύπου. Σε εκπαιδευτική ιστοσελίδα, εκτός από την παρουσίαση του ζητήματος είχαμε φτάξει και σχετική γελοιογραφία, ενώ σε πολλά κανάλια σηκώσαμε το ζήτημα και κατάλαβε όλος ο κόσμος αυτό που τόσοι πολλοί προπαθούσαν να καλύψουν. Θέση είχε πάρει και η ΟΛΜΕ.

[chris_gatos]

Ναι αλλά τελικά πήρε κάποιος την ευθύνη;
Γελοιοποιήθηκαν τα μαθηματικά;
Παρέμειναν όλοι στις θεσεις τους και ανερυθρίαστα συνέχιζαν τη δουλειά τους;

Επιπλέον ρωτάω το εξής,παλιότερους συναδέλφους που υπήρξαν τότε βαθμολογητές και αν θέλουν απαντούν.
Με ποιό κριτήριο θα έπαιρνε ένας μαθητης τότε το 20 (100);;

Πόσοι μαθητές δεν πέρασαν στη σχολή που επιθυμούσαν εξαιτίας αυτού του θέματος;

[AlexandrosG]

Θα ήθελα να κάνω μια ερώτηση. Να πω όμως πρώτα ότι τότε δεν πήγαινα ούτε Λύκειο και ούτε είμαι καθηγητής οπότε ίσως να μη μου πέφτει και λόγος. Απλά με ενδιαφέρει το ζήτημα.

Αφού το θέμα ήταν λάθος, για να γίνει όσο το δυνατόν λιγότερη αδικία δεν θα έπρεπε το ερώτημα να εξαιρεθεί και το άριστα να δίνεται από τη σωστή επίλυση όλων των υπόλοιπων? Τότε θα αδικούνταν μόνο οι μαθητές που έχασαν σε αυτό πολύ χρόνο αν και οι ίδιοι ήξεραν ότι όσο πιάνει το 4ο τόσο πιάνει και το 1ο. Δεν λέω ότι η λύση αυτή είναι δίκαια αλλά νομίζω ότι είναι η δικαιότερη. Έγινε κάτι τέτοιο?

Ίσως να έχω και άδικο βέβαια.

[kalafatis_kon]

ΔΗΜΟΣΙΟΓΡΑΦΟΣ: Πείτε μου ευθέως κύριε <...> τελικά το θέμα είναι σωστό ή λάθος.
ΚΥΡΙΟΣ <...>: Το αν το θέμα είναι σωστό ή λάθος εξαρτάται από ποια θεωρήματα θεωρεί σωστά ή όχι ο κάθε πανεπιστημιακός.

Τα σχόλια περιττά.


(*) Για λόγους κοσμιότητας δεν θα καταγράψω εδώ το όνομα του υψηλού λέγοντος ώστε να μην αναμοχλεύω περασμένα (αλλά όχι ξεχασμένα). Άλλωστε μπορεί ο ίδιος να μην διαβάσει τα παραπάνω, οπότε δεν θα μπορέσει να απαντήσει. Ας προσθέσω ότι ο στόχος μου δεν είναι να τον εκθέσω αλλά να καταγράψω ένα περιστατικό με τον ντόρο που δημιουργήθηκε.[/quote]



Μιχάλη πολλή μεγάλη κοσμιότητα δείχνεις με ανθρώπους που έχουν διαστρευλώσει τα μαθηματικά και έχουν ανελιχθεί σε υψηλότατες θέσεις. Οι άνθρωποι αυτοί προσέφεραν πολιτικές υπηρεσίες σε αντιεκπαιδευτικές μεταρρυθμίσεις ώς πρόεδροι της ΕΜΕ και έχουν βοηθήσει και άλλους να ανελιχθούν απο το περιβάλλοντα χώρο...
Εγώ όπως και πόλλοι άλλοι απο εδώ καταλαβαίνουμε για ποιόν μιλάς (Εγώ μάλιστα για το συγκεκριμένο δημοσίευμα είχα κάνει καταγγελία σε συνεύλεση της ΕΜΕ) αλλά σεβόμενος την διάθεση σου για κοσμιότητα δεν θα πω τίποτα παραπάνω. Πάντως κάποια στιγμή πρέπει όλα αυτά να σταματήσουν να συμβαίνουν το χρωστάμε στα μαθηματικά...

[Α.Κυριακόπουλος]

Στέλιο(Μαρίνη).
• Είναι γεγονός ότι τότε πολλοί συνάδελφοι στα βαθμολογικά κέντρα είχαν ξεσηκωθεί. Αλλά δημοσιεύματα σε εφημερίδες ευρείας κυκλοφορίας δεν είχα δει. Και κυρίως να καταγγέλλουν το ρόλο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας και τη σιωπή ανθρώπων που λόγω των θέσεων τους ήταν υποχρεωμένοι να πάρουν θέση (εκεί πάει το… απέραντη μοναξιά). Δεν νομίζω ότι κάνω λάθος. Αν θυμάμαι καλά, ο Γιάννης ο Στρατής είχε δημοσιεύσει μια επιστολή σε μια εφημερίδα περιορισμένης κυκλοφορίας ( Δεν θυμάμαι σε ποια. Νομίζω στο Ριζοσπάστη ή στην Αυγή ) .
• Θυμάμαι το εξής αστείο. Η εφημερίδα «Ελεύθερος Τύπος» στην μια σελίδα είχε τις λύσεις των θεμάτων, συμπεριλαμβανομένης και της λύσης του επίμαχου θέματος 4γ(φυσικά η λύση ήταν λανθασμένη) και στην άλλη σελίδα είχε τις δηλώσεις τις δικές μου ότι το θέμα είναι λάθος!!!( φαίνεται ότι είχε ανειλημμένες υποχρεώσεις από κάποιο φροντιστήριο).
Φιλικά.

[lonis]

Τι μου θυμίσατε... Από το πρωί εκείνης της μέρας είχε φανεί το πρόβλημα με το (γ) ερώτημα στα κέντρα εξέτασης φυσικών αδυνάτων (ΑΜΕΑ σήμερα). Η "απόδειξη" της ΚΕΓΕ για την ύπαρξη σημείου καμπής ήταν φυσικά λανθασμένη. Το απόγευμα της ίδιας μέρας, ο φίλος Νίκος Ιωσηφίδης, φροντιστής στη Βέροια, κατασκεύασε αντιπαράδειγμα συνάρτησης που ικανοποιούσε τα δεδομένα αλλά δεν παρουσίαζε καμπή. Την παρουσίασε στην εφημερίδα ΛΑΟΣ:

laos2.jpg (293.72 KiB) Προβλήθηκε 7603 φορές

(Επειδή δεν φαίνεται καλά η σελίδα, την ανέβασα κι εδώ: http://rapidshare.com/files/367277041/laos1.jpg για να μπορείτε να τη μεγεθύνετε.)

Ενώ ο τόπος έβραζε, η Μαθηματική Εταιρεία έβγαλε μια γελοία ανακοίνωση για "λανθασμένη επιλογή". Μάλλον, έβγαλε δύο ανακοινώσεις, σε διάρκεια δύο-τριών ημερών, ίσως κάπου τις έχω κρατημένες. Από ό,τι φάνηκε στη συνέχεια, είχε σκοπό να περιμένει μήνες πριν βγάλει πόρισμα... Αυτό που δεν μπορούσε, όμως, να περιμένει, ήταν η βαθμολόγηση των γραπτών. Κάποια βαθμολογικά κέντρα αρνήθηκαν αρχικά να βαθμολογήσουν, άλλα έβγαλαν ανακοινώσεις διαμαρτυρίας (όπως ένα της Θεσσαλονίκης, όπου βρίσκονταν η Ελένη Μήτσιου κι ο Γιάννης Θωμαϊδης) κλπ. Η οδηγία που ήρθε για τη βαθμολόγηση ήταν, αν θυμάμαι καλά, να δίνονται 4 μόρια από τα 8 για την ύπαρξη ρίζας της 2ης παραγώγου κι άλλα 4 για την αλλαγή προσήμου(!) γύρω από τη ρίζα ή την αναφορά της έκφρασης "πιθανό σημείο καμπής". Στο βαθμολογικό της Κοζάνης, είχαμε αποφασίσει να βαθμολογήσουμε "κατά συνείδηση" αφού δεν μπορούσαμε να συννενοηθούμε. Προσωπικά, έδινα και τα 8 μόρια στον μαθητή, εφόσον είχε αποδείξει την ύπαρξη της ρίζας. Προφανώς υπήρξαν αδικίες στη βαθμολόγηση κι είναι αυτονόητο ότι κάθε νοήμων άνθρωπος θα συμφωνούσε με όσα έγραψε κι ο Αντώνης στον τύπο.

Ένα επιστημονικό λάθος στη θεματοδοσία είναι πάντα απαράδεκτο, αφού αφορά στις επιδόσεις και τα όνειρα των νέων μας. Όμως τα λάθη, όσο σοβαρά κι αν είναι, είναι ανθρώπινα. Θα μπορούσε να βρεθεί μία λύση πιο συμβιβαστική αλλά λιγότερο επώδυνη από την επανάληψη των εξετάσεων (πχ. να ακυρωθεί το ερώτημα ή να δοθεί το σύνολο των μορίων σε όλους τους μαθητές) και να μείνουν στην ιστορία τα θέματα εκείνης της χρονιάς ως μια κακή παρένθεση.

Η Μαθηματική Εταιρεία ισχυρίστηκε ότι δεν ήθελε να διαταράξει το κλίμα των εξετάσεων και την ψυχο-τέτοια των υποψηφίων (πού τα βρίσκουνε και τα λένε;). Έτσι, αντί να παρέμβει άμεσα και με σεβασμό στον επιστημονικό της ρόλο και να προλάβει την έναρξη της βαθμολόγησης, κρατούσε (αν) ισορροπίες. Όχι μόνο δε στάθηκε στο ύψος των περιστάσεων αλλά, παρενέβη προς την αντίθετη κατεύθυνση. Καλύτερα να σιωπούσε παρά να νομιμοποιούσε. Για να δούμε και τη συνέχεια, εν μέσω διασποράς φημών ότι "διάφοροι πανεπιστημιακοί έχουν αντικρουόμενες απόψεις, οι οποίες θα δημοσιευτούν στα περιοδικά της Ε.Μ.Ε, κλπ":

Το Νοέμβριο του 2003, φιλοξενούσε η πόλη της Βέροιας το 20ο συνέδριο της ΕΜΕ. Αποφασίστηκε η διεξαγωγή "Ημερίδας για τα Θέματα των Πανελληνίων Εξετάσεων" στην Βέροια, για τις 30 Ιουνίου 2003. Θα παρίστατο "κλιμάκιο από τα κεντρικά".Πήγα, με θετική διάθεση, για να ακούσω, έστω και τότε το πόρισμα περί λάθους θέματος. Έφυγα στη μέση της εκδήλωσης εκνευρισμένος.

Τελευταία πράξη του δράματος, το συνέδριο το Νοέμβριο. Στρογγυλό τραπέζι το μεσημέρι της Κυριακής (!) σύμφωνα με το πρόγραμμα, όταν, υπό κανονικές συνθήκες, θα έπρεπε οι σύνεδροι να αναχωρούν για τις ιδιαίτερες πατρίδες τους, φορτωμένοι αναμνήσεις και ραβανί. Όμως το αμφιθέατρο ήταν γεμάτο. Πρώτα μίλησε ο καθηγητής του πανεπιστημίου Ιωαννίνων κύριος Θεόδωρος Μπόλης, ο οποίος δε μάσησε τα λόγια του: το θέμα ήταν ξεκάθαρα λανθασμένο κι η Μαθηματική Εταιρεία έπρεπε να είχε παρέμβει άμεσα. Καθόμουν παρέα με το Χάρη Βαφειάδη, ο οποίος στη διάρκεια της "συζήτησης" ήταν εκτός εαυτού, όπως οι περισσότεροι στην αίθουσα. Όταν τελικά ανέβηκε στο βήμα ο αντιπρόεδρος της ΕΜΕ, κύριος Γεώργιος Δημάκος, εν μέσω πολλών "συμβιβαστικών", είπε ότι η μαθηματική Εταιρεία είχε επισημάνει ότι το ερώτημα ήταν λανθασμένο. Και καθώς κατέβαινε από το βήμα, ο Χάρης ρώτησε φωναχτά: "πότε το είπατε αυτό;". Ο κ. Δημάκος απάντησε, εντελώς φυσιολογικά: "την Τετάρτη". Κι η ερώτηση του Χάρη: "ποια Τετάρτη, αυτήν την Τετάρτη;"

Και τότε, όλοι γελάσαμε!

ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ - ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

1) Στο περιοδικό Απολλώνιος του Παραρτήματος ΕΜΕ Ημαθίας, τεύχος 2ο, Οκτώβριος 2003, θα διαβάσετε μία διπλωματική παρουσίαση της ημερίδας που προανέφερα (σελίδες 3, 4) καθώς και την περιγραφή κατασκευής του αντιπαραδείγματος από το Νίκο Ιωσηφίδη (σελίδες 119-123).

2) Η ΕΜΕ είμαστε, βέβαια, κι εμείς αλλά είμαστε τόσο λίγο εμείς! Οι επιλογές της, που υποθέτω ότι προκύπτουν από συνεδριάσεις του Διοιηκητικού Συμβουλίου, πολλές φορές δεν αντιπροσωπεύουν το κοινό μαθηματικό αίσθημα. Τελευταίο θύμα, ο διαγωνισμός Καγκουρό. Παραμένω έξαλλος, γι' αυτό το λόγο δε μίλησα ψύχραιμα όπως ο Μάκης εδώ: viewtopic.php?f=6&t=5233&p=34524#p34524. Κάτι είπα νωρίτερα, όμως, εδώ: viewtopic.php?f=40&t=1273&p=7375#p7375.

3) Κάποτε θα πρέπει να μάθουμε να λέμε ονόματα και διευθύνσεις για όλα τα στραβά. Προσωπικά, μέχρι στιγμής δεν το κάνω, από ευγένεια κι επειδή περιμένω μήπως κάποια πράγματα, άνθρωποι και καταστάσεις αλλάξουν. Και πάντως όχι από διάθεση να κρατήσω ισορροπίες για να μπορέσω να "εξελιχθώ". Η κακή εξουσία δε χρειάζεται σεβασμό ούτε φόβο.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Οι μεγάλες οικογένειες
Λουδοβίκος Ι
Λουδοβίκος ΙΙ
Λουδοβίκος ΙΙΙ
Λουδοβίκος ΙV
Λουδοβίκος V
Λουδοβίκος VI
Λουδοβίκος VII
Λουδοβίκος VIII
Λουδοβίκος IX
Λουδοβίκος Χ (επονομαζόμενος ο Καβγατζής)
Λουδοβίκος ΧΙ
Λουδοβίκος ΧΙΙ
Λουδοβίκος ΧΙΙΙ
Λουδοβίκος ΧΙV
Λουδοβίκος ΧV
Λουδοβίκος ΧVI
Λουδοβίκος ΧVIIΙ
και μετά κανείς τίποτε…
μα τι άνθρωποι είναι αυτοί
που δεν είναι ικανοί
να μετρήσουν ως το είκοσι ;

Ζακ Πρεβέρ

Λεωνίδας Θαρραλίδης

[lonis]

Θα ήθελα να κάνω μια ερώτηση. Να πω όμως πρώτα ότι τότε δεν πήγαινα ούτε Λύκειο και ούτε είμαι καθηγητής οπότε ίσως να μη μου πέφτει και λόγος. Απλά με ενδιαφέρει το ζήτημα.
Αφού το θέμα ήταν λάθος, για να γίνει όσο το δυνατόν λιγότερη αδικία δεν θα έπρεπε το ερώτημα να εξαιρεθεί και το άριστα να δίνεται από τη σωστή επίλυση όλων των υπόλοιπων? Τότε θα αδικούνταν μόνο οι μαθητές που έχασαν σε αυτό πολύ χρόνο αν και οι ίδιοι ήξεραν ότι όσο πιάνει το 4ο τόσο πιάνει και το 1ο. Δεν λέω ότι η λύση αυτή είναι δίκαια αλλά νομίζω ότι είναι η δικαιότερη. Έγινε κάτι τέτοιο?

Αλέξανδρε, πολύ λογικές οι ερωτήσεις σου. Και φυσικά σου πέφτει λόγος εφόσον υπήρξες κάποτε μαθητής. Θα μπορούσε να τύχει να τελείωνες το λύκειο το 2003. Σκέψου, λοιπόν, να είσαι καθηγητής, να σε ρωτάει ο μαθητής σου τα ίδια πράγματα και να μην μπορείς να απαντήσεις γιατί κι εσύ έχεις τις ίδιες απορίες...

Αντώνη, δε μειώνει την αξία της τόλμης σου αυτό που θα πω - όλοι ξέρουμε ότι έχεις τα κότσια να μιλάς. Αλλά το θέμα δεν ήταν στη δημοσιοποίηση του προβλήματος στο πλατύ κοινό, ήταν οι αποφάσεις των ειδικών κι αυτών που είχαν εξουσία να παρέμβουν. Κι εκεί όλοι αποτύχαμε...

Όπως εύστοχα έγραψε ο Χρήστος:

Αυτό που λείπει ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΑ απο αυτήν τη χώρα είναι το mea culpa.
Να βγαίνει (πρωτίστως) ο εκάστοτε ΕΠΙΦΑΝΗΣ και να ζητάει συγνώμη για τα υποδεικνυόμενα λάθη του.
Οι πολιτικοί και οι ακαδημαικοί θα έπρεπε να δίνουν το καλό παράδειγμα, γιατί κρέμονται πολλές τύχες απο τα χέρια τους.
Δυστυχώς συμβαίνει εντελώς το αντίθετο.

Καληνύχτα Κεμάλ! Αυτός ο κόσμος δε θα αλλάξει ποτέ!

Λεωνίδας Θαρραλίδης.

[Α.Κυριακόπουλος]

Αντώνη, δε μειώνει την αξία της τόλμης σου αυτό που θα πω - όλοι ξέρουμε ότι έχεις τα κότσια να μιλάς. Αλλά το θέμα δεν ήταν στη δημοσιοποίηση του προβλήματος στο πλατύ κοινό, ήταν οι αποφάσεις των ειδικών κι αυτών που είχαν εξουσία να παρέμβουν. Κι εκεί όλοι αποτύχαμε...

Αγαπητέ Λεωνίδα.
Τουλάχιστον, εμείς που «φωνάζαμε» μπορούμε να λέμε ότι κάναμε ότι μπορούσαμε. Τις παραπάνω επιστολές της έστειλα ταυτοχρόνως και στο Παιδαγωγικό Ινστιτούτο και στο Υπουργείο Παιδείας. Προσωπικά, δεν βλέπω τι άλλο θα μπορούσα να είχα κάνει.
Φιλικά.

[Μάκης Χατζόπουλος]

Δυστυχώς αυτό που αντιμετωπίζουμε συχνά στην χώρα μας είναι το φαινόμενο της ατιμωρησίας,

Και στην περίπτωση μας πάλι το ίδιο συνέβη, δηλαδή ένα Πανεπιστημιακός να κάνει ατυχής (επιεικής χαρακτηρισμός και πάλι Λεωνίδα) επιλογή θεμάτων και μετά λόγω της επιτυχίας του (;) να ξαναπροτείνεται να θέσει θέματα Πανελλήνιων εξετάσεων! Το ξαναβλέπω αυτό στην ηγεσία της ΕΜΕ, το ξαναβλέπω αυτό στην πολιτική, το ξαναβλέπω αυτό στην δουλειά μου, αρχίζω να το βλέπω παντού, αρχίζω να νιώθω ότι πρέπει να ακολουθήσω τους νέους κανόνες για να μπορώ να επιβιώσω, να πρέπει να βρω τα κενά που δημιουργούν και να περάσω ανάμεσα χωρίς να τσαλακώσω την υπόληψή μου και όλα αυτά να τα βαφτίζουμε ως φυσιολογικά...

Τις αρετές τις προάγει η Πολιτεία, αν δίνουν προτεραιότητα σε τέτοιες καταστάσεις και έχουν αυτή την λογική, μην μας κατηγορούν μετά για φοροδιαφυγή, για αδιαφορία στα προβλήματα της χώρα μας, να μην περιμένουν κατανόηση και υπομονή, αυτοί υποσκάπτουν αυτή την συμπεριφορά, ότι σπείρουν θα θερίσουν!

Δεν ξέρουν ακόμα ότι όλα είναι θέμα Παιδείας και δικαιοσύνης;

[Α.Κυριακόπουλος]

Θα ήθελα να υπενθυμίσω την αντίδρασή μου το 2008 όταν έμαθα ότι επικεφαλής των πανελλαδικών εξετάσεων ήταν το ίδιο άτομο που το 2003 τα είχε κάνει… θάλασσα.

ΑΝΟΙΚΤΗ ΕΠΙΣΤΟΛΗ
ΠΡΟΣ ΤΟΝ κ. ΥΠΟΥΡΓΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
Κύριε Υπουργέ.
• Στις Πανελλήνιες εξετάσεις του έτους 2003 το θέμα 4γ των Μαθηματικών της Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ήταν λανθασμένο. Ζητούσε να αποδειχθεί κάτι στα μαθηματικά που δεν ισχύει (αυτό αποδεικνυόταν με ένα αντιπαράδειγμα). Είναι περιττό να σας πω ότι όσες λύσεις είχε στείλει η κεντρική επιτροπή εξετάσεων στα βαθμολογικά κέντρα, ήταν όλες λανθασμένες. Τότε είχε προκληθεί μεγάλη αναστάτωση και για πολλές ημέρες έγραφαν οι εφημερίδες για το θέμα αυτό (σας στέλνω τρία άρθρα- σε σμίκρυνση- που είχα δημοσιεύσει τότε) .
Κύριε Υπουργέ.
• Σας αναφέρω όλα αυτά, γιατί πρόεδρος της κεντρικής επιτροπής εξετάσεων και υπεύθυνος για τα Μαθηματικά το έτος εκείνο, δηλαδή το 2003, ήταν ο κ. Δάσιος, τον οποίο, όπως διαβάζω στην εφημερίδα «Κόσμος του Επενδυτή» (Σάββατο 17 Μαΐου 2008, σελίδα 23 ), τον έχετε τοποθετήσει εφέτος ακριβώς στην ίδια θέση. Το εξοργιστικότερο τότε, ήταν ότι υποτιμώντας τη νοημοσύνη όλων των μαθηματικών, προσπαθούσαν να μας πείσουν ότι το μαύρο είναι άσπρο. Το λυπηρότερο όμως ήταν ότι η Ελληνική Μαθηματική Εταιρία (Ε.Μ.Ε.), χωρίς ντροπή και πέρα από κάθε επιστημονική δεοντολογία, προσπαθούσε να καλύψει τον κ. Δάσιο επειδή ήταν μέλος του Δ.Σ. της Ε.Μ.Ε.
• Τα γνωρίζετε όλα αυτά κύριε Υπουργέ; Και αν όχι δεν θα έπρεπε να ρωτήσετε; Αυτές είναι οι αλλαγές στις εξεταστικές επιτροπές που λέγατε ότι θα κάνετε;
• Πέρα όμως από όλα αυτά, με την επιστολή μου αυτή θέλω να βοηθήσω στη σωστότερη επιλογή των θεμάτων στα Μαθηματικά στις Πανελλήνιες εξετάσεις ώστε ,όχι μόνο να γίνεται δικαιότερη επιλογή των υποψηφίων, αλλά και να μην εκτίθεται το Υπουργείο σας. Γιατί κάθε φορά που θα γίνει διαγωνισμός στα Μαθηματικά, κάτι δεν θα πάει καλά (ακατάλληλα θέματα ,λάθος θέματα, λάθος λύσεις, λάθος διευκρινίσεις, απαράδεκτες ενδεικτικές λύσεις κτλ.). Ενδεικτικά αναφέρω τις εξής περιπτώσεις: 1988 λανθασμένη οδηγία στα βαθμολογικά κέντρα. 1991 όμοια. 1997 λανθασμένες ενδεικτικές λύσεις. 2000 όμοια. 2003 λανθασμένο θέμα. 2005 (ΑΣΕΠ) λανθασμένο θέμα (όλα τα παραπάνω λάθη τα έχω δημοσιεύσει στις εφημερίδες).

Κύριε Υπουργέ
• Κατά τη γνώμη μου, τα θέματα στις Πανελλήνιες εξετάσεις πρέπει να είναι τέτοια ώστε να διασφαλίζουν την αντικειμενική αξιολόγηση και την επιλογή εκείνων των υποψηφίων, που διαθέτουν περισσότερες γνώσεις στο εξεταζόμενο αντικείμενο, κριτική και συνθετική ικανότητα, καθώς και ικανότητα επεξεργασίας αγνώστων θεμάτων. Αυτά όμως δεν επιτυγχάνονται με εύκολα θέματα (θα γράψουν όλοι), ούτε με πολύ δύσκολα θέματα (δεν θα γράψει κανένας), αλλά ούτε και με θέματα που περιέχονται σε διάφορα βιβλία (Ελληνικά ή ξένα), μηδέ του σχολικού βιβλίου εξαιρουμένου.
• Πιστεύω ότι η σωστή επιλογή στα Μαθηματικά επιτυγχάνεται μόνο με θέματα τα οποία:
α) Κατασκευάζονται από ικανούς μαθηματικούς, με πρωτοτυπία και φαντασία, για το σκοπό των εξετάσεων.
β) Περιλαμβάνουν τουλάχιστο τέσσερις ερωτήσεις (το καθένα), όχι ανεξάρτητες μεταξύ τους και με προοδευτική δυσκολία.
γ) Αναφέρονται σε όσο το δυνατόν περισσότερη έκταση της εξεταζόμενης ύλης.
δ) Ελέγχονται επισταμένως και λύνονται όχι μόνο από τους συντάκτες τους, αλλά και από άλλη ομάδα μαθηματικών, ώστε να εκτιμάται και ο απαιτούμενος χρόνος για τη λύση τους από τους μαθητές .

Με τιμή
Αντώνης Κυριακόπουλος
Μαθηματικός – Συγγραφέας
Πρώην μέλος του Δ.Σ της Ε.Μ.Ε
Πρώην Πρόεδρος της Συντακτικής
Επιτροπής του περιοδικού « ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄»


Τηλ. Αθήνα 19-5-2008

e-mail: a_kiriak@otenet.gr

Σημείωση. Τα άρθρα των εφημερίδων σας τα έχω στείλει με fax.

[lonis]

Αγαπητέ Λεωνίδα.
Τουλάχιστον, εμείς που «φωνάζαμε» μπορούμε να λέμε ότι κάναμε ότι μπορούσαμε. Τις παραπάνω επιστολές της έστειλα ταυτοχρόνως και στο Παιδαγωγικό Ινστιτούτο και στο Υπουργείο Παιδείας. Προσωπικά, δεν βλέπω τι άλλο θα μπορούσα να είχα κάνει.
Φιλικά.

Αντώνη, καλησπέρα.

Το ξέρω ότι έκανες ό,τι μπορούσες, όπως πάντα. Δυστυχώς, ο προστατευτικός μηχανισμός λειτούργησε μέχρις εσχάτων. Δεν θα' ναι πάντα έτσι.

Λεωνίδας

[chr]

Ειμαι μαθητης Β λυκειου και παρακολουθω το forum εδω και λιγο καιρο. Θα ηθελα να ρωτησω αν η παραγωγος ειναι θετικη και μηδενιζεται σε μεμονομενα σημεια η συναρτηση δεν ειναι γνησιως αυξουσα; Αν ισχυει δε θα μπορουσαμε να το χρησιμοποιησουμε για να καταληξουμε σε ατοπο. Ευχαριστω εκ των προτερων για την απαντηση.