Συναρτησιακή εξίσωση
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Συναρτησιακή εξίσωση
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Συναρτησιακή εξίσωση
Ωραία!
η δοσμένη σχέση,
Βήμα 1 για
Απόδειξη: Αν με τότε άτοπο.
Άμεση συνέπεια το .
Βήμα 2 .
Απόδειξη:
Εναλλάσουμε τα και παίρνουμε .
Αν ήταν τότε .
Έστω λοιπόν . Η εξίσωση
Αν η λύση αυτή είναι θετική γράφω και η δίνει
όπως ήθελα.
Έστω ότι δεν είναι θετική, αφού θα πρέπει και τελειώσαμε.
Βήμα 3 για κάθε φυσικό .
Απόδειξη: Για ισχύει αφού
Αν είναι για κάποιο τότε και επαγωγικά παίρνουμε το ζητούμενο.
Βήμα 4
Απόδειξη: Έχουμε ήδη . Έστω πως .
Τότε για κάποιο πάρε το φυσικό με , οπότε .
Από το βήμα 2 θα ισχύει .
Πάρε αρκετά μεγάλο ώστε οπότε για κάποια .
Τώρα σταθεροποιώ το και παίρνω μεγάλα (ώστε να ισχύει η προηγούμενη ανισότητα).
άρα
Αυτή αφού για μεγάλα δίνει άτοπο λόγω του εκθετικού (δηλ το το οποίο είναι απλό).
Έτσι έχουμε
Τώρα
Σε αυτή και παίρνω , για δίνει
και τώρα γενικά δίνει διαιρώντας με ότι άρα ,
δηλαδή η ικανοποιεί την Cauchy και αφού έπεται πως για κάθε η οποία και επαληθεύει την αρχική.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης