Πρώτοι

#1

Βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς p , q , r

για τους οποίους ισχύει p+q^2+r^3=200

.

https://artofproblemsolving.com/communi ... 4p26187684

Henri van Aubel · #2

Edit: Λόγω μιας απροσεξίας.

#3

Ωραία! Νομίζω όμως ότι έχουμε μερικές περιπτώσεις ακόμη:

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 24, 2022 8:35 am
...

Περίπτωση 1: $p=2\Rightarrow q^{2}+r^{3}=198\Leftrightarrow q^{2}\leqslant 9,$ οπότε δοκιμάζω για $q=2\Rightarrow 4+r^{3}=198,$ άτοπο! Μετά δοκιμάζω για $q=3\Rightarrow 9+r^{3}=198,$ άτοπο!
Επομένως αυτή η περίπτωση απορρίπτεται.

...

Περίπτωση 3: $r=2\Rightarrow p+q^{2}=192\Leftrightarrow q^{2}\leqslant 9.$ Δοκιμάζω για $q=2\Rightarrow p+4=192,$ άτοπο! Δοκιμάζω για $q=3\Rightarrow p+9=192\Leftrightarrow p=183,$ άτοπο!
Επομένως αυτή η περίπτωση απορρίπτεται.

...

Στην 1η περίπτωση: $q^2<198 \implies q\in \{2,3,5,7,11,13\}$

Στην 3η περίπτωση: $q^2<192 \implies q\in \{2,3,5,7,11,13\}$

Henri van Aubel · #4

Ωχ, όντως

. Δεν είδα όλες τις περιπτώσεις, ζητώ συγγνώμη.

Henri van Aubel · #5

Για να κλείνει.

Αν ήταν και οι τρεις περιττοί, τότε το πρώτο μέλος θα ήταν περιττός και το δεύτερο άρτιος (διακόσια) , άτοπο. Άρα τουλάχιστον ένας ισούται με δύο.

Αν $p=2\Rightarrow q^{2}+r^{3}=198\Leftrightarrow r\leq 5$ και q,r

ίδιας αρτιότητας, άρα είναι και οι δύο περιττοί. Περιπτώσεις:

$r=5\Rightarrow q^{2}+125=198,$ άτοπο
$r=3\Rightarrow q^{2}+27=198,$ άτοπο

Αν $q=2\Rightarrow p+r^{3}=196\Leftrightarrow r\leq 5$ και p,r

ίδιας αρτιότητας, άρα είναι και ο δύο περιττοί. Περιπτώσεις:

$r=5\Rightarrow p+125=196\Leftrightarrow p=71,$ δεκτό
$r=3\Rightarrow p+27=196\Leftrightarrow p=169,$ άτοπο

Άρα $\left ( p,q,r \right )=\left ( 71,2,5 \right )$

Αν $r=2\Rightarrow p+q^{2}=192\Leftrightarrow q\leq 13$ και p,q

ίδιας αρτιότητας, άρα είναι και οι δύο περιττοί .Περιπτώσεις:

$q=13\Rightarrow p+169=192\Leftrightarrow p=23,$ δεκτό
$q=11\Rightarrow p+121=192\Leftrightarrow p=71,$ δεκτό
$q=7\Rightarrow p+49=192\Leftrightarrow p=143,$ δεκτό
$q=5\Rightarrow p+25=192\Leftrightarrow p=167,$ δεκτό
$q=3\Rightarrow p+9=192\Leftrightarrow p=183,$ άτοπο

Άρα $\left ( p,q,r \right )=\left ( 23,13,2 \right ),\left ( 71,11,2 \right ),\left ( 143,7,2 \right ),\left ( 167,5,2 \right ),\left ( 183,3,2 \right )$

Τέλος ρε παιδιά!

mick7 · #6

To

και

δεν είναι πρώτοι. Επίσης μια ακόμη είναι η (71,2,5)

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 11, 2023 8:42 pm
Για να κλείνει.
Άρα $\left ( p,q,r \right )=\left ( 23,13,2 \right ),\left ( 71,11,2 \right ),\left ( 143,7,2 \right ),\left ( 167,5,2 \right ),\left ( 183,3,2 \right )$

Τέλος ρε παιδιά!

Πρώτοι

Πρώτοι

Re: Πρώτοι

Re: Πρώτοι

Re: Πρώτοι

Re: Πρώτοι

Re: Πρώτοι

Μέλη σε σύνδεση