Μέγιστο και ελάχιστο

#1

Οι μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί a,b

έχουν άθροισμα

Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης $\displaystyle{\frac{a^2+b^2}{ab+1}.}$

#2

socrates έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 27, 2022 11:48 pm
Οι μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί έχουν άθροισμα
Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης $\displaystyle{\frac{a^2+b^2}{ab+1}.}$

Αποδυκνύεται ότι $1\le \frac{a^2+b^2}{ab+1} \le 4$ , με ισότητες στα a=b=1

και, αντίστοιχα, $a=0,\, b=2$ .

Ένας τρόπος να το δούμε είναι να γράψουμε b=2-a

. Tότε η μεν αριστερή γράφεται $a(2-a) +1 \le a^2+(2-a)^2$ , ισοδύναμα $0\le 3(a-1)^2$ , που ισχύει. Η δε δεξιά γράφεται $a^2+(2-a)^2 \le 4a(2-a) +4$ , ισοδύναμα $0\le 6a(2-a)$ , που ισχύει αφού $0\le a \le 2$ .

#3

Αλλιώς: Γράφουμε p = ab

και παρατηρούμε ότι $\displaystyle 0 \leqslant p \leqslant \frac{(a+b)^2}{4} = 1$

Έχουμε $\displaystyle T = \frac{a^2+b^2}{ab+1} = \frac{(a+b)^2-2ab}{ab+1} = \frac{4-2p}{p+1} = \frac{6}{p+1} - 2$

Τώρα $p \geqslant 0 \implies T \leqslant 4$ και $p \leqslant 1 \implies T \geqslant 1$ .

Οι ισότητες όπως τις περιγράφει ο Μιχάλης. (Δεν είναι δύσκολο να δείξουμε ότι είναι ουσιαστικά μοναδικές.)

#4

Καλησπέρα σε όλους. Θα επιχειρήσω μια απάντηση με τα εργαλεία των παλαιών Αλγεβριστών (η τριωνυμίτιδα, όπως την αναφέρει ο αγαπητός Κώστας Δόρτσιος). (Βλέπετε εδώ)

Έστω $\displaystyle \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{ab + 1}} = k > 0$ , οπότε $\displaystyle {a^2} + {b^2} = kab + k$ , και αφού $\displaystyle a+b = 2$ , θα είναι
$\displaystyle {a^2} + {\left( {2 - a} \right)^2} = ka\left( {2 - a} \right) + k \Leftrightarrow \left( {k + 2} \right){a^2} - 2\left( {k + 2} \right)a + 4 - k = 0$

Για να έχει λύση η εξίσωση, πρέπει $\displaystyle D \ge 0 \Leftrightarrow 8\left( {k + 2} \right)\left( {k - 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow k \ge 1$ .

Επίσης, είναι $\displaystyle 0 \le a \le 2$ , οπότε, έχουμε τις ανισώσεις

$\displaystyle 0 \le \frac{{2\left( {k + 2} \right) + \sqrt D }}{{2\left( {k + 2} \right)}} \le 2 \Leftrightarrow 0 \le \sqrt D \le 2\left( {k + 2} \right) \Leftrightarrow k \le 4$

και $\displaystyle 0 \le \frac{{2\left( {k + 2} \right) - \sqrt D }}{{2\left( {k + 2} \right)}} \le 2 \Leftrightarrow 0 \le - \sqrt D \le 2\left( {k + 2} \right) \Leftrightarrow D = 0 \Leftrightarrow k = 1$

Οι ακραίες τιμές λαμβάνονται για $\displaystyle a=b=1$ και $\displaystyle a=2, b=0$ αντίστοιχα.

Μέγιστο και ελάχιστο

Μέγιστο και ελάχιστο

Re: Μέγιστο και ελάχιστο

Re: Μέγιστο και ελάχιστο

Re: Μέγιστο και ελάχιστο

Μέλη σε σύνδεση