Ταυτότητα με Β και Γ

Tolaso J Kos · #1

Έστω

θετικές σταθερές. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\frac{\Gamma(a_1) \Gamma(a_2) \cdots \Gamma(a_n)}{\Gamma \left ( a_1 + a_2 + \cdots + a_n \right )} = \mathrm{B} \left ( a_1, a_2 \right ) \mathrm{B} \left ( a_1+a_2, a_3 \right ) \cdots \mathrm{B} \left ( a_1+a_2 + \cdots + a_{n-1}, a_n \right )}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 10, 2022 10:20 am
Έστω θετικές σταθερές. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\frac{\Gamma(a_1) \Gamma(a_2) \cdots \Gamma(a_n)}{\Gamma \left ( a_1 + a_2 + \cdots + a_n \right )} = \mathrm{B} \left ( a_1, a_2 \right ) \mathrm{B} \left ( a_1+a_2, a_3 \right ) \cdots \mathrm{B} \left ( a_1+a_2 + \cdots + a_{n-1}, a_n \right )}$

Άμεσο από τον τύπο $B (a,b) = \dfrac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}$ . Έτσι αν πάμε με επαγωγή, το επαγωγικό βήμα με χρήση (στο δεξί μέλος) της

$B ( a_1+a_2 + \cdots + a_{n-1} + a_{n}, a_{n+1})} = \dfrac {\Gamma \left ( a_1 + a_2 + \cdots + a_n \right ) \Gamma (a_{n+1})} {\Gamma \left ( a_1 + a_2 + \cdots + a_n +a_{n+1}) }$

δίνει αμέσως το αριστερό μέλος μετά την απολοποίηση του κοινού όρου στον αριθμητή και παρονομαστή.

Ταυτότητα με Β και Γ

Ταυτότητα με Β και Γ

Re: Ταυτότητα με Β και Γ

Μέλη σε σύνδεση