Σταθερότητα

KARKAR · #1

: Σταθερότητα.png (10.24 KiB) Προβλήθηκε 635 φορές

Το τμήμα

χωρίζεται με το σημείο

σε δύο τμήματα AB=a

και

, με

.

Στο ίδιο ημιεπίπεδο σχηματίζουμε τα τρίγωνα DAB

και $EBC , (DA \parallel EB , DB \parallel EC)$ .

Δείξτε ότι η ευθεία

διέρχεται από σταθερό σημείο .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 11, 2022 9:11 pm
Σταθερότητα.pngΤο τμήμα χωρίζεται με το σημείο σε δύο τμήματα και , με .

Στο ίδιο ημιεπίπεδο σχηματίζουμε τα τρίγωνα και $EBC , (DA \parallel EB , DB \parallel EC)$ .

Δείξτε ότι η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο .

Έστω ότι η συγκεκριμένη ευθεία

τέμνει την προέκταση της

στο

. Θα δείξουμε ότι το μήκος

είναι σταθερό (εξαρτάται μόνο από τα $a,\,b$ και όχι από τα τρίγωνα που σχηματίσαμε). Άρα το

ειναι το σταθερό μας σημείο.

Έχουμε από άμεσες ομοιότητες τριγώνων ότι

$\displaystyle{ \dfrac {OC}{OB} = \dfrac {EC}{BD} = \dfrac {EB}{DA} = \dfrac {OB}{OA} }$ .

Οι δύο ακριανές γράφονται $\displaystyle{ \dfrac {OC}{OC+b} = \dfrac {OC+b}{OC+b+a} }$

Λύνοντας ως προς

(ανάγεται σε πρωτοβάθμια) θα βρούμε $\displaystyle{OC= \dfrac {b^2}{a-b}= }$ σταθερό.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 11, 2022 9:11 pm
Σταθερότητα.pngΤο τμήμα χωρίζεται με το σημείο σε δύο τμήματα και , με .

Στο ίδιο ημιεπίπεδο σχηματίζουμε τα τρίγωνα και $EBC , (DA \parallel EB , DB \parallel EC)$ .

Δείξτε ότι η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο .

Ας είναι

το σημείο τομής των ευθειών $DE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ . Θέτω CS = x

και ισχύουν:

$\left\{ \begin{gathered} \frac{x}{{x + b}} = \frac{{CE}}{{DB}} \hfill \\ \frac{{x + b}}{{x + a + b}} = \frac{{BE}}{{AD}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Σταθερότητα_KARKAR.png (9.12 KiB) Προβλήθηκε 593 φορές

Η πρώτη από την ομοιότητα των $\vartriangle SEC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle SDB$ η δεύτερη από την ομοιότητα των $\vartriangle SBE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle SAD$ .

Όμως τα δεύτερα μέλη είναι ίσα γιατί και τα $\vartriangle BCE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle ABD$ είναι όμοια , οπότε :

$\dfrac{x}{{x + b}} = \dfrac{{x + b}}{{x + a + b}} \Leftrightarrow \dfrac{x}{b} = \dfrac{{x + b}}{a} \Leftrightarrow \boxed{x = \dfrac{{{b^2}}}{{a - b}}}$ και άρα το

είναι σταθερό σημείο .

Είναι απ' ότι βλέπω η ίδια με του Κ. Λάμπρου . Την αφήμω για τον κόπο και το σχήμα .

Σταθερότητα

Σταθερότητα

Re: Σταθερότητα

Re: Σταθερότητα

Μέλη σε σύνδεση