Από σταθερό σημείο 14

KARKAR · #1

: Από σταθερό σημείο 14.png (12.53 KiB) Προβλήθηκε 1233 φορές

Σημείο

κινείται στη βάση

, του οξυγωνίου τριγώνου ABC

. Θεωρούμε σημεία P , T

των πλευρών AB , AC

αντίστοιχα , ώστε : SP=SB , ST=SC

. Δείξτε ότι ο κύκλος

που ορίζουν τα σημεία A , P , T

, διέρχεται από σταθερό σημείο .

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Νοέμ 18, 2022 10:26 am Από σταθερό σημείο 14.pngΣημείο κινείται στη βάση , του οξυγωνίου τριγώνου . Θεωρούμε σημεία

των πλευρών αντίστοιχα , ώστε : . Δείξτε ότι ο κύκλος

που ορίζουν τα σημεία , διέρχεται από σταθερό σημείο .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

george visvikis έγραψε: Παρ Νοέμ 18, 2022 12:28 pm
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Όλοι οι κύκλοι διέρχονται από το ορθόκεντρο.

Γιώργο, προφανώς ήθελες να γράψεις
.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

.
αλλά εκ παραδρομής έγραψες άλλο.

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Νοέμ 18, 2022 1:36 pm
george visvikis έγραψε: Παρ Νοέμ 18, 2022 12:28 pm
Όλοι οι κύκλοι διέρχονται από το ορθόκεντρο.
Γιώργο, προφανώς ήθελες να γράψεις

Όλοι οι κύκλοι διέρχονται από το κέντρο το εγγεγραμμένου κύκλου.
.
αλλά εκ παραδρομής έγραψες άλλο.

ΩΩΩΩΩ, λάθος δικό μου αλλά αξίζει να δούμε γιατί. Πρόκειται για διαβολική σύμπτωση.

Εκ παραδρομής διάβασα λάθος την άσκηση και αντί για $SB=SP,\, SC=ST$ πήρα $SB=BP,\, SC=CT$ (δηλαδή την τρίτη πλευρά εκάστου των τριγώνων $SBP,\, SCT$ ). To λοιπόν, τώρα και πάλι ο κύκλος $A,\. P,\, T$ διέρχεται από σταθερό σημείο. Μαντέψτε ποιο. Είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου!

Κοντοογίς, έχουμε τώρα δύο ασκήσεις προς επίλυση.

Συγνώμη για το λάθος μου, αλλά τουλάχιστον βγήκε κάτι απρόσμενο.

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Νοέμ 18, 2022 2:42 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Νοέμ 18, 2022 1:36 pm
george visvikis έγραψε: Παρ Νοέμ 18, 2022 12:28 pm
Όλοι οι κύκλοι διέρχονται από το ορθόκεντρο.
Γιώργο, προφανώς ήθελες να γράψεις

Όλοι οι κύκλοι διέρχονται από το κέντρο το εγγεγραμμένου κύκλου.
.
αλλά εκ παραδρομής έγραψες άλλο.
ΩΩΩΩΩ, λάθος δικό μου αλλά αξίζει να δούμε γιατί. Πρόκειται για διαβολική σύμπτωση.

Εκ παραδρομής διάβασα λάθος την άσκηση και αντί για $SB=SP,\, SC=ST$ πήρα $SB=BP,\, SC=CT$ (δηλαδή την τρίτη πλευρά εκάστου των τριγώνων $SBP,\, SCT$ ). To λοιπόν, τώρα και πάλι ο κύκλος $A,\. P,\, T$ διέρχεται από σταθερό σημείο. Μαντέψτε ποιο. Είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου!

Κοντοογίς, έχουμε τώρα δύο ασκήσεις προς επίλυση.

Συγνώμη για το λάθος μου, αλλά τουλάχιστον βγήκε κάτι απρόσμενο.

Πράγματι, έχουμε δύο πολύ ωραίες ασκήσεις.

#6

KARKAR έγραψε: Παρ Νοέμ 18, 2022 10:26 am Από σταθερό σημείο 14.pngΣημείο κινείται στη βάση , του οξυγωνίου τριγώνου . Θεωρούμε σημεία

των πλευρών αντίστοιχα , ώστε : . Δείξτε ότι ο κύκλος

που ορίζουν τα σημεία , διέρχεται από σταθερό σημείο .

Φέρνω τα ύψη AD, BE, CZ

με

το ορθόκεντρο. Η

τέμνει την

στο

και η

την

στο

$\displaystyle S\widehat BG = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - G\widehat TE = B\widehat GS \Leftrightarrow SG = SB = SP$

$\displaystyle P\widehat SG = 180^\circ - \left( {180^\circ - 2\widehat B + 180^\circ - 2\widehat C} \right) = 180^\circ - 2\widehat A \Rightarrow S\widehat PG = S\widehat GP = \widehat A$ (1)

: Από σταθερό σημείο 14.png (24.52 KiB) Προβλήθηκε 1147 φορές

Ομοίως βρίσκω ότι SF=ST=SC,

άρα το

είναι ισοσκελές τραπέζιο, συνεπώς εγγράψιμο και λόγω της

(1)

το

ανήκει στον παραπάνω κύκλο. Είναι ακόμα, $\displaystyle P\widehat FZ = P\widehat FH = 90^\circ - \widehat B = B\widehat AD = P\widehat AH,$ οπότε

το ορθόκεντρο

είναι το σταθερό σημείο αυτού του κύκλου.

#7

KARKAR έγραψε: Παρ Νοέμ 18, 2022 10:26 am Από σταθερό σημείο 14.pngΣημείο κινείται στη βάση , του οξυγωνίου τριγώνου . Θεωρούμε σημεία

των πλευρών αντίστοιχα , ώστε : . Δείξτε ότι ο κύκλος

που ορίζουν τα σημεία , διέρχεται από σταθερό σημείο .

Τα μεταβλητά σημεία $T\,,\,P$ ανήκουν σε δύο ομόκεντρα ( μεταβλητά) ημικύκλια κέντρου

ένα μικρό και ένα μεγάλο εν γένει .

Έστω ότι το μικρό τέμνει ακόμα την

στο

.

Τότε $\widehat {\theta _{}^{}} = 180^\circ - \widehat {2B_{}^{}} \Rightarrow \widehat {\omega _{}^{}} = 90^\circ - \widehat {B_{}^{}} \Rightarrow CF \bot AB$ $\left( 1 \right)$ . Από την άλλη μεριά :

$\widehat {CST} = 180^\circ - 2\widehat {C_{}^{}} \Rightarrow \widehat {TSF} = 180^\circ - 2\widehat {A_{}^{}}$ , οπότε από το ισοσκελές $\vartriangle STF$ έχω: $\widehat {SFT} = \widehat {STF} = \widehat {A_{}^{}}\,\,\,\left( 2 \right)$ .

: Απο σταθερό σημείο 14.png (37.03 KiB) Προβλήθηκε 1110 φορές

Δηλαδή το

ανήκει στον κύκλο $\left( {A,P,T} \right)$ .

Αν τώρα η

τέμνει τον κύκλο $\left( {A,P,T} \right)$ στο

και την

στο

θα είναι :

$\widehat {B_{}^{}} = \widehat {BPS} = \widehat {ATF} = \widehat {AHD}$ και λόγω της $\left( 1 \right)$ θα είναι $\widehat {\phi _{}^{}} = 90^\circ - \widehat {B_{}^{}} \Rightarrow AH \bot BC$ .

Δηλαδή το

είναι αναγκαστικά το ορθόκεντρο του $\vartriangle ABC$ .

#8

Για την άσκηση του Μιχάλη Λάμπρου.

Στο σχήμα το είναι τυχόν σημείο της και Θα δείξω ότι ο περίκυκλος του διέρχεται από το έγκεντρο του

: Μ.Λ.png (18.16 KiB) Προβλήθηκε 1083 φορές

H

τέμνει τον κύκλο στο

και η

στο

Προφανώς όλες οι γαλάζιες γωνίες είναι ίσες με $\displaystyle 90^\circ - \frac{{\widehat C}}{2}$ και οι

κόκκινες με $\displaystyle 90^\circ - \frac{{\widehat B}}{2}.$ Είναι, $\displaystyle S\widehat PE = P\widehat SE = 90^\circ - \frac{{\widehat A}}{2} \Leftrightarrow EP = ES \Leftrightarrow P\widehat ES = \widehat A,$ οπότε το BSEP

είναι χαρταετός και η

διχοτομεί τις γωνίες $\widehat B, P\widehat ES.$ Άρα, $\displaystyle I\widehat AT = I\widehat ET = \frac{{\widehat A}}{2}$ που σημαίνει ότι το

είναι το

έγκεντρο του τριγώνου ABC.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν τα βρίσκονται στις προεκτάσεις των τότε οι κύκλοι διέρχονται από το παράκεντρο

Από σταθερό σημείο 14

Από σταθερό σημείο 14

Re: Από σταθερό σημείο 14

Re: Από σταθερό σημείο 14

Re: Από σταθερό σημείο 14

Re: Από σταθερό σημείο 14

Re: Από σταθερό σημείο 14

Re: Από σταθερό σημείο 14

Re: Από σταθερό σημείο 14

Μέλη σε σύνδεση