Μεγάλες κατασκευές 92

KARKAR · #1

: Μεγάλες κατασκευές 92.png (9.72 KiB) Προβλήθηκε 599 φορές

Στο ισοσκελές τρίγωνο ABC , ( AB = AC )

, είναι : $\hat{A}=120^0$ και

είναι το μέσο της

.

Να εντοπισθεί σημείο

της πλευράς

, ώστε αν : $MT \perp BS$ να προκύπτει : ST=SA

.

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Νοέμ 20, 2022 8:57 am Μεγάλες κατασκευές 92.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο , είναι : $\hat{A}=120^0$ και είναι το μέσο της .

Να εντοπισθεί σημείο της πλευράς , ώστε αν : $MT \perp BS$ να προκύπτει : .

Έστω

η προβολή του

στη

Θέτω

οπότε $\displaystyle SE = \frac{{b - x}}{2},EC = \frac{{(b - x)\sqrt 3 }}{2}.$

: Μεγάλες κατασκευές 92.png (14.19 KiB) Προβλήθηκε 587 φορές

Με νόμο συνημιτόνου στα ABC, ABS

βρίσκω $\displaystyle a = b\sqrt 3$ και $BS=\sqrt{x^2+b^2+bx}.$

Αλλά, $\displaystyle BT \cdot BS = BM \cdot BE \Leftrightarrow (BS - x)BS = \frac{a}{2}\left( {a - \frac{{(b - x)\sqrt 3 }}{2}} \right) \Leftrightarrow$

$\displaystyle {x^2} + bx + {x^2} - x\sqrt {{x^2} + bx + {x^2}} = \frac{{3{b^2}}}{2} - \frac{{3b(b - x)}}{4},$ απ' όπου καταλήγω στην εξίσωση:

$\displaystyle b\left( {8{x^3} + 7b{x^2} - 2{b^2}x - {b^3}} \right) = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x = bt} (t + 1)(8{t^2} - t - 1) = 0,$ όπου τελικά $\boxed{ x = \frac{{\left( {1 + \sqrt {33} } \right)b}}{{16}}}$

KARKAR · #3

: 120.png (14 KiB) Προβλήθηκε 544 φορές

Στον κύκλο (A,AP)

φέρω την εφαπτομένη

. Δείξτε ότι το

είναι η λύση !

#4

KARKAR έγραψε: Δευ Νοέμ 21, 2022 9:56 am 120.pngΣτον κύκλο φέρω την εφαπτομένη . Δείξτε ότι είναι η λύση !

Με την τιμή του

που βρήκα στην προηγούμενή μου ανάρτηση είναι:

$\displaystyle B{S^2} = \frac{{{b^2}{{(1 + \sqrt {33} )}^2}}}{{256}} + \frac{{{b^2}(1 + \sqrt {33} )}}{{16}} + {b^2} = ... = \frac{{9{b^2}{{(1 + \sqrt {33} )}^2}}}{{256}} \Leftrightarrow BS = \frac{{3b(1 + \sqrt {33} )}}{{16}}$

$\displaystyle \frac{1}{2}BS \cdot AP = (ABS) = \frac{1}{2}bx\sin 120^\circ \Leftrightarrow \frac{{3b(1 + \sqrt {33} )}}{{16}}AP = \frac{{{b^2}(1 + \sqrt {33} )}}{{16}} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle AP = \frac{{b\sqrt 3 }}{6} = \frac{b}{{2\sqrt 3 }} \Leftrightarrow$ $\boxed{AP=\frac{h}{\sqrt 3}}$

Μεγάλες κατασκευές 92

Μεγάλες κατασκευές 92

Re: Μεγάλες κατασκευές 92

Re: Μεγάλες κατασκευές 92

Re: Μεγάλες κατασκευές 92

Μέλη σε σύνδεση