Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2023 (1η φάση, 6η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2023
Θέματα της 1ης φάσης για την 6η τάξη, 19 Νοεμβρίου 2022

1. Ο Ηρακλής και η Λερναία Ύδρα, που έχει κεφάλια, μονομαχούν. Με μια κίνηση του σπαθιού του ο Ηρακλής μπορεί να κόψει είτε ένα κεφάλι της Λερναίας Ύδρας, είτε κατευθείαν δέκα (αν βέβαια δεν είναι λιγότερα των δέκα). Ωστόσο, αν μετά το κόψιμο απομένουν άρτιο αριθμό κεφάλια, τότε ο αριθμός των κεφαλιών κατευθείαν διπλασιάζεται. Φέρτε ένα παράδειγμα, για το πως μπορεί να δράσει ο Ηρακλής, ώστε να κόψει όλα τα κεφάλια της Λερναίας Ύδρας.


2. Στη σειρά στέκονται ιππότες και αυλικοί (οι ιππότες λένε πάντα την αλήθεια και οι αυλικοί πάντα ψέματα). Ο καθένας τους αναφώνησε είτε την φράση «Αριστερά από μένα βρίσκονται άρτιος αριθμός ανθρώπων», είτε την φράση «Αριστερά από μένα στέκονται περιττός αριθμός ανθρώπων». Μπορεί άραγε να προκύψει, ότι ακούστηκαν συνολικά φράσεις της μίας κατηγορίας και της άλλης; Μη ξεχάσετε να εξηγήσετε την απάντησή σας.


3. Ο Νίκος σκέφτηκε έναν φυσικό αριθμό και παρατήρησε ότι κάποιος τετραψήφιος αριθμός στην διαίρεση με τον αφήνει υπόλοιπο και στην διαίρεση με τον υπόλοιπο . Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές, που μπορεί να πάρει ο . Μη ξεχάσετε να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.


4. Τα κελιά μιας οριζόντιας λωρίδας διαστάσεων αριθμήθηκαν από αριστερά προς τα δεξιά με τους αριθμούς έως . Στα κελιά από το πρώτο μέχρι το δέκατο κατοικούν από ένα τζιτζίκι. Η εντομολόγος Άννα και τα τζιτζίκια παίζουν ένα παιχνίδι: στην αρχή κάνει κίνηση η Άννα, ύστερα τα τζιτζίκια, έπειτα πάλι η Άννα κ.ο.κ. Με μια κίνηση η Άννα μπορεί να μετακινήσει προς τα δεξιά ένα από τα τζιτζίκια το πολύ έξι κελιά μακρύτερα. Στην δικιά τους κίνηση όλα τα τζιτζίκια, που δεν βρίσκονται στο δικό τους σπίτι, μεταπηδούν στο γειτονικό τους αριστερά κελί. Να αποδείξετε, ότι η Άννα δεν θα μπορέσει να μαζέψει τα τζιτζίκια (με κάποια σειρά) στα κελιά . Στην πορεία του παιχνιδιού επιτρέπεται μερικά τζιτζίκια να βρίσκονται στο ίδιο κελί.

Edit: Έγινε διόρθωση στην εκφώνηση του 4ου προβλήματος.

[kfd]

444-10=434
868-10=858
1716-10=1706
3412-1=3411
και αφαιρώ 10άδες μέχρι το 1.

[fogsteel]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2023
Θέματα της 1ης φάσης για την 6η τάξη, 19 Νοεμβρίου 2022




2. Στη σειρά στέκονται ιππότες και αυλικοί (οι ιππότες λένε πάντα την αλήθεια και οι αυλικοί πάντα ψέματα). Ο καθένας τους αναφώνησε είτε την φράση «Αριστερά από μένα βρίσκονται άρτιος αριθμός ανθρώπων», είτε την φράση «Αριστερά από μένα στέκονται περιττός αριθμός ανθρώπων». Μπορεί άραγε να προκύψει, ότι ακούστηκαν συνολικά φράσεις της μίας κατηγορίας και της άλλης; Μη ξεχάσετε να εξηγήσετε την απάντησή σας.

Συμβολίζουμε με τον υπότη , τον αυλικό. Ξεκινάμε τοποθετώντας τους με τον ακόλουθο τρόπο :

, δηλαδή στις περιττές θέσεις βάζουμε Ιππότη και στις άρτιος Αυλικό.

Με αυτήν την διάταξη παρατηρούμε πως ακούγονται φράσεις «Αριστερά από μένα βρίσκονται άρτιος αριθμός ανθρώπων».
Σε μία κίνηση εναλλάσουμε έναν Ιππότη με έναν Αυλικό.

• Αν ο Ιππότης βρίσκεται σε περιττή θέση και ο Αυλικός σε άρτια(όπως στην αρχική διάταξη) τότε παρατηρούμε πως όσοι λένε την φράση «Αριστερά από μένα βρίσκονται άρτιος αριθμός ανθρώπων» μειώνονται κατά , ενώ αυξάνονται κατα αυτοί που λένε την άλλη φράση.

• Αν ο Ιππότης βρίσκεται σε άρτια θέση ενώ ο Αυλικός σε περιττή θέση , τότε αυξάνονται κατά όσοι λένε την φράση «Αριστερά από μένα βρίσκονται άρτιος αριθμός ανθρώπων» , ενώ μειώνονται κατά όσοι λένε την άλλη φράση.

• Αν η θέση που βρίσκεται ο Ιππότης και η Θέση που βρίσκεται ο Αυλικό έχουν το ίδιο , τότε δεν έχουμε καμία αλλαγή

Από την αρχική διάταξη είναι προφανές ότι μπορούμε να φτάσουμε σε όλες τις δυνατές εκτελώντας την παραπάνω κίνηση. Σε κάθε περίπτωση , όσοι λένε κάθε φράση είναι άρτιοι σε αριθμό.

Άρα δεν μπορούν να ακουστούν και φράσεις αντίστοιχα.

[kfd]

Αν k ο 4ψήφιος είναι , άρα , x διαιρέτης του 118, δηλαδή x=1,59,118. Eπειδή δεχόμαστε το 59, ενώ απορρίπτουμε και το 118, αφού ο k 4ψήφιος. Τότε έχουμε με αποδεκτές τις τιμές k=3623, 7104.

[Al.Koutsouridis]

Να ευχαριστήσω τoυς kfd και fogsteel για τις λύσεις τους.

• Αν η θέση που βρίσκεται ο Ιππότης και η Θέση που βρίσκεται ο Αυλικό έχουν το ίδιο parity , τότε δεν έχουμε καμία αλλαγή

Να σημειώσουμε για τους μικρούς μαθητές που παρακολουθούν το , ότι το parity αποδίδεται στα ελληνικά ως ισοτιμία. Αν και δεν είναι απόλυτα ακριβής αυτή η απόδοση, καθώς εννοείται ως αρτιότητα ή περιττότητα. Δηλαδή αν αφήνουν δυο αριθμοί το ίδιο υπόλοιπο στην διαίρεσή τους με το .

[Demetres]

Στην δικιά τους κίνηση όλα τα τζιτζίκια, που βρίσκονται στο δικό τους κελί, μεταπηδούν στο γειτονικό τους αριστερά κελί.

Δεν είμαι σίγουρος ότι καταλαβαίνω αυτό το κομμάτι της εκφώνησης;

[Al.Koutsouridis]

Στην δικιά τους κίνηση όλα τα τζιτζίκια, που βρίσκονται στο δικό τους κελί, μεταπηδούν στο γειτονικό τους αριστερά κελί.

Δεν είμαι σίγουρος ότι καταλαβαίνω αυτό το κομμάτι της εκφώνησης;

Και με το δίκιο σου, γιατί είχα μεταφράσει λάθος μερικά κομμάτια της εκφώνησης. Έκανα την διόρθωση στην αρχική ανάρτηση. Ευχαριστώ για την παρατήρηση και ελπίζω να μην ταλαιπωρήθηκαν πολύ όσοι προσπάθησαν να την λύσουν.