Τραπεζομουρμούρα

#1

: Τραπεζομουρμούρα.png (11.03 KiB) Προβλήθηκε 835 φορές

Σε τραπέζιο ABCD (AB||CD)

είναι $AD=12, DC=9, \widehat D=60^\circ.$ Να βρείτε σημείο

της πλευράς

ώστε $B\widehat EC=90^\circ$ και $\dfrac{(ABE)}{(DEC)}=\dfrac{7}{45}.$ Στη συνέχεια να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς AB.

vgreco · #2

george visvikis έγραψε: Πέμ Δεκ 08, 2022 12:49 pm Τραπεζομουρμούρα.png
Σε τραπέζιο είναι $AD=12, DC=9, \widehat D=60^\circ.$ Να βρείτε σημείο της πλευράς

ώστε $B\widehat EC=90^\circ$ και $\dfrac{(ABE)}{(DEC)}=\dfrac{7}{45}.$ Στη συνέχεια να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς

: trapezomourmoura.png (83.21 KiB) Προβλήθηκε 739 φορές

Με αναλυτική γεωμετρία:

Βρίσκω εύκολα τις συντεταγμένες των σημείων του αρχικού σχήματος. Με βάση τις δοσμένες συνθήκες, παίρνω το σύστημα:

$\displaystyle{ \begin{cases} \dfrac{ (m - 6) (6 - n) } { 9n } = \dfrac{7}{45} \\\\ -\dfrac{n \sqrt3}{9 - n} \cdot \dfrac{(6 - n) \sqrt3}{m - n} = -1 \end{cases} }$

Με τη βοήθεια λογισμικού (προφανώς) και τον περιορισμό m > 6

, παίρνω τις λύσεις:

$\displaystyle{ (m, n) \in \left\{ \left( \dfrac{44}{5}, \ 4 \right ), \ \ \left[ \dfrac{3}{5} \left( 3 + 2\sqrt{21} \right), \ \ \dfrac{9}{{20}}\left( {11 - \sqrt {21} } \right) \right] \right \} }$

...και το ζητούμενο έπεται.

Επεξεργασία: απλοποίηση λύσης

#3

Να ευχαριστήσω τον vgreco για τη λύση του και γενικά για την όρεξη που δείχνει
να καταπιάνεται με θέματα που απαιτούν δύσκολους χειρισμούς

$\displaystyle \bullet$ Να συμπληρώσω απλώς ότι το σύστημα λύνεται και χωρίς λογισμικό. Από την πρώτη εξίσωση είναι $\displaystyle m = \frac{{180 - 23n}}{{5(6 - n)}}$

και αντικαθιστώντας στην δεύτερη καταλήγω στην $\displaystyle (n - 4)(20{n^2} - 198n + 405) = 0,$ απ' όπου προκύπτουν οι

δεκτές ρίζες $\displaystyle n = 4$ ή $\displaystyle n = \frac{9}{{20}}\left( {11 - \sqrt {21} } \right)$ (για την οποία το λογισμικό απ' ό,τι βλέπω έδωσε μία πολύπλοκη μη

απλοποιημένη μορφή).

$\displaystyle \bullet$ Η άσκηση κατασκευάστηκε αρχικά για $\displaystyle AE = 4,$ αλλά στην πορεία προέκυψε και άλλη θέση του

Αν δεν υπάρξει άλλη απάντηση, θα δώσω μία γεωμετρική λύση.

#4

george visvikis έγραψε: Πέμ Δεκ 08, 2022 12:49 pm Τραπεζομουρμούρα.png
Σε τραπέζιο είναι $AD=12, DC=9, \widehat D=60^\circ.$ Να βρείτε σημείο της πλευράς

ώστε $B\widehat EC=90^\circ$ και $\dfrac{(ABE)}{(DEC)}=\dfrac{7}{45}.$ Στη συνέχεια να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς

Χρόνια πολλά σε όλους .
Από το λόγο των εμβαδών, $a = \dfrac{{7\left( {12 - x} \right)}}{{5x}}\,\,\left( 1 \right)$ . Από Θ Μενελάου στο $\vartriangle ADT$ με διατέμνουσα $\overline {ESC}$ ,

$ST = \dfrac{{3\left( {12 - x} \right)\sqrt 3 }}{{x + 6}}\,\,\left( 2 \right)$ .
Από την ομοιότητα και λόγω της $\left( 2 \right)$ : $\vartriangle KEB \approx \vartriangle TCS \Rightarrow \dfrac{{KE}}{{TC}} = \dfrac{{KB}}{{TS}} \Rightarrow 3x\left( {12 - x} \right) = \left( {x + 6} \right)\left( {x + 2a)} \right)$ , οπότε λόγω της $\left( 1 \right)$ :

: τραπεζομουρμούρα_new_κατασκευή.png (13.63 KiB) Προβλήθηκε 665 φορές

$5{x^3} - 41{x^2} + 21x + 252 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {5{x^2} - 21x - 63} \right) = 0$ με δεκτές ρίζες:

x = 4

ή $x = \dfrac{{21 + 9\sqrt {21} }}{{10}}$ . τα υπόλοιπα απλά .

#5

Doloros έγραψε: Σάβ Δεκ 24, 2022 6:07 pm
george visvikis έγραψε: Πέμ Δεκ 08, 2022 12:49 pm Τραπεζομουρμούρα.png
Σε τραπέζιο είναι $AD=12, DC=9, \widehat D=60^\circ.$ Να βρείτε σημείο της πλευράς

ώστε $B\widehat EC=90^\circ$ και $\dfrac{(ABE)}{(DEC)}=\dfrac{7}{45}.$ Στη συνέχεια να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς
Χρόνια πολλά σε όλους .
Από το λόγο των εμβαδών, $a = \dfrac{{7\left( {12 - x} \right)}}{{5x}}\,\,\left( 1 \right)$ . Από Θ Μενελάου στο $\vartriangle ADT$ με διατέμνουσα $\overline {ESC}$ ,

$ST = \dfrac{{3\left( {12 - x} \right)\sqrt 3 }}{{x + 6}}\,\,\left( 2 \right)$ .
Από την ομοιότητα και λόγω της $\left( 2 \right)$ : $\vartriangle KEB \approx \vartriangle TCS \Rightarrow \dfrac{{KE}}{{TC}} = \dfrac{{KB}}{{TS}} \Rightarrow 3x\left( {12 - x} \right) = \left( {x + 6} \right)\left( {x + 2a)} \right)$ , οπότε λόγω της $\left( 1 \right)$ :
τραπεζομουρμούρα_new_κατασκευή.png
$5{x^3} - 41{x^2} + 21x + 252 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {5{x^2} - 21x - 63} \right) = 0$ με δεκτές ρίζες:

ή $x = \dfrac{{21 + 9\sqrt {21} }}{{10}}$ . τα υπόλοιπα απλά .

Καλές Γιορτές σε όλους!

Αυτή ακριβώς είναι και η λύση μου Νίκο

Τραπεζομουρμούρα

Τραπεζομουρμούρα

Re: Τραπεζομουρμούρα

Re: Τραπεζομουρμούρα

Re: Τραπεζομουρμούρα

Re: Τραπεζομουρμούρα

Μέλη σε σύνδεση