Η κορυφή κινείται !

KARKAR · #1

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=mx^2-(m+2)x+1 , m\neq 0$ .

Α) Δείξτε ότι η γραφική της παράσταση ( παραβολή ) διέρχεται , για κάθε τιμή του

, από δύο σταθερά σημεία .

Β) Βρείτε - προσεκτικά - τον γεωμετρικό τόπο της κορυφής της παραβολής .

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Ιαν 04, 2023 8:10 pm Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=mx^2-(m+2)x+1 , m\neq 0$ .

Α) Δείξτε ότι η γραφική της παράσταση ( παραβολή ) διέρχεται , για κάθε τιμή του , από δύο σταθερά σημεία .

Β) Βρείτε - προσεκτικά - τον γεωμετρικό τόπο της κορυφής της παραβολής .

Μήπως υπάρχει τυπογραφικό σφάλμα στο Α;

Μαντεύω ότι πρέπει να γίνει $f(x)=mx^2-(m+{\color {red}1})x+1$ . Τώρα όλες οι παραβολές διέρχονται από τα σημεία (0,1)

και

.

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Ιαν 04, 2023 8:10 pm Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=mx^2-(m+2)x+1 , m\neq 0$ .

Α) Δείξτε ότι η γραφική της παράσταση ( παραβολή ) διέρχεται , για κάθε τιμή του , από δύο σταθερά σημεία .

Β) Βρείτε - προσεκτικά - τον γεωμετρικό τόπο της κορυφής της παραβολής .

Προφανώς είναι τα σημεία: $A\left( {0,1} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B\left( {1, - 1} \right)$

Για κάθε $m \ne 0$ η παραβολή έχει κορυφή το σημείο $K\left( {\dfrac{{m + 2}}{{2m}}, - \dfrac{{{m^2} + 4}}{{4m}}} \right)$ το σημείο $K\left( {x,y} \right)$ ανήκει στην γραμμή : $\left\{ \begin{gathered} x = \dfrac{{m + 2}}{{2m}} \hfill \\ y = - \dfrac{{{m^2} + 4}}{{4m}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Διαγράψω το

και έχω το

να ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης :

: η κορυφή κινείται_a_1.png (18.14 KiB) Προβλήθηκε 701 φορές

$g\left( x \right) = \dfrac{{2{x^2} - 2x + 1}}{{1 - 2x}}\,\,,\,\,x \ne \dfrac{1}{2}$ . Έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την $x = \dfrac{1}{2}$ .

Επίσης $g(x) + x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{2(1 - 2x)}}\,\,$ .

Το όριο του 2ου μέλους στο $+ \infty$ και στο $- \infty$ είναι ,

συνεπώς έχει πλάγια ασύμπτωτη την $y = - x + \dfrac{1}{2}$ στο $\pm \infty$ ( παρόμοια με 2ο παράδειγμα σχολικού σελίδα 171)

Ειδικά

: η κορυφή κινείται_b_1.png (20.46 KiB) Προβλήθηκε 701 φορές

1. Όταν

, η παραβολή έχει ελάχιστο που διαγράφει τον δεξιο κλάδο της ${C_g}$ με μέγιστο το σημείο $B\left( {1, - 1} \right)$ .

2. Όταν m < 0

, η παραβολή έχει μέγιστο που διαγράφει τον αριστερό κλάδο της ${C_g}$ με ελάχιστο το $A\left( {0,1} \right)$

S.E.Louridas · #4

KARKAR έγραψε: Τετ Ιαν 04, 2023 8:10 pm Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=mx^2-(m+2)x+1 , m\neq 0$ .

Α) Δείξτε ότι η γραφική της παράσταση ( παραβολή ) διέρχεται , για κάθε τιμή του , από δύο σταθερά σημεία .

Β) Βρείτε - προσεκτικά - τον γεωμετρικό τόπο της κορυφής της παραβολής .

Καλημέρα, καλημέρα.
Μετά την υπερ. άριστη επίλυση του Νίκου στο πανέμορφο αυτό θέμα του Θανάση, θα ήθελα να εκθέσω και εγώ την άποψη μου, που βέβαια σε γενικές γραμμές είναι παρόμοια με του Νίκου.

Αν θεωρήσουμε ότι $\displaystyle{\left( {\forall m \in {\Cal R}} \right)\left( {y = {x^2}m - xm - 2x + 1} \right) \Leftrightarrow \left( {\forall m \in {\Cal R}} \right)\left( {\left( {{x^2} - x} \right)m - 2x + 1 + y = 0} \right)}$ , τότε
$x = 0\;{\text{\dot \eta }}\;x = 1$ λαμβάνοντας έτσι τις αντίστοιχες τιμές $y = 1\;{\text{\dot \eta }}\;y = - 1,$ που με επαλήθευση τεκμηριώνουμε και
έτσι παίρνουμε τα αντίστοιχα σημεία ${M_1}\left( {0,1} \right),\;{M_2}\left( {1, - 1} \right).$
Τώρα θα θεωρήσουμε τις συναρτήσεις ως προς

, $\displaystyle{x:{{\Cal R}^ * } \to {\Cal R},\;x\left( m \right) = \frac{{m + 2}}{{2m}}}$ και $\displaystyle{y:{{\Cal R}^ * } \to {\Cal R},\;y\left( m \right) = - \frac{{{m^2} + 4}}{{4m}},}$
οπότε έτσι δίνουμε τον τρόπο κίνησης της κορυφής $\displaystyle{{K\left( {\frac{{m + 2}}{{2m}}, - \frac{{{m^2} + 4}}{{4m}}} \right).}$
Εδώ κάνουμε δύο απαραίτητες κινήσεις με με πρώτη κίνηση την εύρεση των συνόλων τιμών των συναρτήσεων $x,\;y$ (ως προς

)

και δεύτερη κίνηση την απαλοιφή του

για να προκύψει η εξίσωση που θέλουμε.
Από τη πρώτη κίνηση έχουμε: $\displaystyle{x({D_x}) = {\Cal R}/\left\{ {\frac{1}{2}} \right\},\;{y(D_y}) = \left( { - \infty , - 1} \right] \cup \left[ {1, + \infty } \right),}$ οπότε παίρνουμε την κίνηση των μεταβλητών x, y

και από την δεύτερη κίνηση (με επίλυση της πρώτης ως προς

και αντικατάσταση του

στη δεύτερη ισότητα)
προκύπτει ο τύπος του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου και που είναι ο τύπος $\displaystyle{y = \frac{{2{x^2} - 2x + 1}}{{1 - 2x}}.}$

Η κορυφή κινείται !

Η κορυφή κινείται !

Re: Η κορυφή κινείται !

Re: Η κορυφή κινείται !

Re: Η κορυφή κινείται !

Μέλη σε σύνδεση