Δύσκολη ισότητα

KARKAR · #1

: Δύσκολη ισότητα.png (10.73 KiB) Προβλήθηκε 773 φορές

Πάνω στην μεσοκάθετη ακτίνα

, ημικυκλίου διαμέτρου AOB

κινείται σημείο

. Η

τέμνει το προς το μέρος του

, ημικύκλιο διαμέτρου

, στο

και το αρχικό ημικύκλιο

στο

. Μπορούμε να βρούμε εκείνη τη θέση του

, για την οποία προκύπτει : AS=KT

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 20, 2023 9:55 am
Δύσκολη ισότητα.pngΠάνω στην μεσοκάθετη ακτίνα , ημικυκλίου διαμέτρου κινείται σημείο . Η

τέμνει το προς το μέρος του , ημικύκλιο διαμέτρου , στο και το αρχικό ημικύκλιο

στο . Μπορούμε να βρούμε εκείνη τη θέση του , για την οποία προκύπτει : ;

Θέτω

: Δύσκολη ισότητα.Κ.png (17.65 KiB) Προβλήθηκε 755 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} y(y + m) = AS \cdot ST = {R^2} - O{S^2} \hfill \\ (y + m)y = AK \cdot KT = {R^2} - {(R - x)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$ $\boxed{OS=R-x}$

Νόμος συνημιτόνου στο OSK,

$\displaystyle {m^2} = 2{(R - x)^2}\left( {1 - \frac{{R - x}}{R}} \right) \Leftrightarrow$ $\boxed{m = \frac{{(R - x)\sqrt {2Rx} }}{R}}$ (1)

$\displaystyle \frac{{{{(2Rx - {x^2})}^2}}}{{{y^2}}} = {(y + m)^2} = {R^2} + {(R - x)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{y = \frac{{2Rx - {x^2}}}{{\sqrt {2{R^2} - 2Rx + {x^2}} }}}$ (2)

$\displaystyle y + m = \sqrt {2{R^2} - 2Rx + {x^2}} \mathop \Rightarrow \limits^{(1),(2)} \frac{{2Rx - {x^2}}}{{\sqrt {2{R^2} - 2Rx + {x^2}} }} + \frac{{(R - x)\sqrt {2Rx} }}{R} = \sqrt {2{R^2} - 2Rx + {x^2}}$

όπου μετά τις πράξεις καταλήγω στην εξίσωση $\displaystyle {x^3} - 4R{x^2} + 6{R^2}x - 2{R^3} = 0,$ όπου το λογισμικό δίνει:

$\boxed{ x = \frac{R}{3}\left( {4 - \frac{2}{{\sqrt[3]{{3\sqrt {33} - 17}}}} + \sqrt[3]{{3\sqrt {33} - 17}}} \right) \simeq 0,45631R}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 20, 2023 9:55 am
Δύσκολη ισότητα.pngΠάνω στην μεσοκάθετη ακτίνα , ημικυκλίου διαμέτρου κινείται σημείο . Η

τέμνει το προς το μέρος του , ημικύκλιο διαμέτρου , στο και το αρχικό ημικύκλιο

στο . Μπορούμε να βρούμε εκείνη τη θέση του , για την οποία προκύπτει : ;

Αφού

αν ενώσω το

με το μέσο της

αυτή η ευθεία θα είναι και μεσοκάθετη στη χορδή , άρα $OS = OK\,$ .

Θέτω : OS = OK = x

. Έστω

το σημείο τομής των ευθειών $BT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ON$ και

το αντιδιαμετρικό του

στον $\left( {O,R} \right)$

Θέτω NE = u

. Έχω: $\widehat {\theta _{}^{}} = \widehat {A_{}^{}}$ , $\widehat {A_{}^{}} = \widehat {E_{}^{}}$ ( γιατί το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου

.

$\widehat {BTZ} = \widehat {ZTA} = \widehat {ATN} = 45^\circ$ ( οι επίκεντρές τους είναι ορθές )

Επειδή $\vartriangle OKT = \vartriangle OST\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OA \bot OK$ , θα είναι $OS \bot OT$ , συνεπώς OT//SN

ως κάθετες στην

, οπότε $\widehat {\theta _{}^{}} = \widehat {{\theta _1}}$ .

Από τις πιο πάνω ισότητες των , κίτρινων, γωνιών έχω : $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {E_{}^{}}$ με άμεση συνέπεια τα τρίγωνα $TNS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TNE$ να είναι ίσα με άμεση συνέπεια , NS = NE = u

: Δύσκολη Ισότητα_Ευκλείδεια.png (32.59 KiB) Προβλήθηκε 665 φορές

Μετά απ’ αυτά : έχω τις παρακάτω μετρικές σχέσεις:

$\left\{ \begin{gathered} x = \frac{{{R^2}}}{{R + u}} \hfill \\ {x^2} + {u^2} = {R^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Η πρώτη γιατί η τετράδα : $\left( {K,E\backslash Z,N} \right)$ είναι αρμονική και η δεύτερη από το Π. Θ. στο $\vartriangle SNO$ .

Μεταξύ των πιο πάνω διαγράφω το

κι έχω την εξίσωση : ${x^4} - 2{R^3}x - {R^4} = 0$

Με λύση , $\boxed{x = \frac{R}{3}\left( {\sqrt[3]{{3\sqrt {33} + 17}} - \sqrt[3]{{3\sqrt {33} - 17}} - 1} \right)}$

Δύσκολη ισότητα

Δύσκολη ισότητα

Re: Δύσκολη ισότητα

Re: Δύσκολη ισότητα

Μέλη σε σύνδεση