Κύκλος και σταθερό σημείο

orestisgotsis · #1

Περιττό

#2

orestisgotsis έγραψε: Κυρ Φεβ 12, 2023 3:49 pm Κύκλος και σταθερό σημείο .png

Δίνεται ημιευθεία Ox και δύο σημεία της A και B με το A πλησιέστερα

στο O. Μεταβλητό σημείο M κινείται πάνω σε ευθεία (ε) που είναι κάθετη

στην Ox στο O, και κατευθυνόμενο προς το O. Κατασκευάζονται κύκλοι

${{C}_{i}}$ για $i=1,\,\,2,\,\,3,\,\,\ldots$ που περνάνε από τα A, B και εφάπτονται των ${{M}_{i}}B$ .

Έστω ${{P}_{i}}$ τα σημεία των ${{C}_{i}}$ που οι ${{M}_{i}}A$ τέμνουν για δεύτερη φορά τους

κύκλους ${{C}_{i}}$ . Να δεχτεί ότι οι κάθετες στις ${{M}_{i}}A$ στα σημεία ${{P}_{i}}$ διέρχονται από

σταθερό σημείο.

Σταθερά είναι τα σημεία O, A, B.

Θα δείξω ότι και το σημείο

είναι σταθερό.

: Κύκλος και σταθερό σημείο.png (11.54 KiB) Προβλήθηκε 593 φορές

$\displaystyle MA \cdot MP = M{B^2} \Leftrightarrow MA(MA + AP) = M{B^2} \Leftrightarrow MA \cdot AP = M{B^2} - M{A^2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle MA \cdot AP = O{B^2} - O{A^2},$ που είναι σταθερό. Από την ομοιότητα όμως των τριγώνων AOM, APD

είναι:

$\displaystyle OA \cdot AD = MA \cdot AP = ct.$ Επομένως, το

είναι σταθερό.

#3

orestisgotsis έγραψε: Κυρ Φεβ 12, 2023 3:49 pm Κύκλος και σταθερό σημείο.png

Δίνεται ημιευθεία Ox και δύο σημεία της A και B με το A πλησιέστερα

στο O. Μεταβλητό σημείο M κινείται πάνω σε ευθεία (ε) που είναι κάθετη

στην Ox στο O, και κατευθυνόμενο προς το O. Κατασκευάζονται κύκλοι

${{C}_{i}}$ για $i=1,\,\,2,\,\,3,\,\,\ldots$ που περνάνε από τα A, B και εφάπτονται των ${{M}_{i}}B$ .

Έστω ${{P}_{i}}$ τα σημεία των ${{C}_{i}}$ που οι ${{M}_{i}}A$ τέμνουν για δεύτερη φορά τους

κύκλους ${{C}_{i}}$ . Να δεχτεί ότι οι κάθετες στις ${{M}_{i}}A$ στα σημεία ${{P}_{i}}$ διέρχονται από

σταθερό σημείο.

Ας είναι

η τομή των ευθειών $OA\,$ και της εις το

καθέτου επί την

.

Θέτω : $OA = a\,,\,\,AB = b\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BS = x$ . Τα a,b

είναι από την υπόθεση σταθερά .

Τα σημεία M,O,P,S

ανήκουν πάντα στον ίδιο κύκλο $\Omega$ , κι από τη δύναμη του

σ’ αυτόν έχω:

$AM \cdot AP = a\left( {x + b} \right)\,\,\left( 1 \right)$ . Το

εφάπτεται του αρχικού κύκλου .Από τη δύναμη του

σ’ αυτόν :

: κύκλος και σταθερό σημείο_new.png (18.73 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές

$M{B^2} = MA \cdot MP = MA\left( {MA + AP} \right) \Rightarrow M{B^2} - M{A^2} = AM \cdot AP$ και λόγω της $\left( 1 \right)$

και του Π. Θ. στα $\vartriangle OAM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle OBM$ :

$a\left( {x + b} \right) = O{M^2} + {\left( {a + b} \right)^2} - O{M^2} - {a^2} \Rightarrow \boxed{x = \frac{{b\left( {a + b} \right)}}{a}}$ , δηλαδή το σημείο

είναι σταθερό σημείο .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

orestisgotsis έγραψε: Κυρ Φεβ 12, 2023 3:49 pm Κύκλος και σταθερό σημείο.png

Δίνεται ημιευθεία Ox και δύο σημεία της A και B με το A πλησιέστερα

στο O. Μεταβλητό σημείο M κινείται πάνω σε ευθεία (ε) που είναι κάθετη

στην Ox στο O, και κατευθυνόμενο προς το O. Κατασκευάζονται κύκλοι

${{C}_{i}}$ για $i=1,\,\,2,\,\,3,\,\,\ldots$ που περνάνε από τα A, B και εφάπτονται των ${{M}_{i}}B$ .

Έστω ${{P}_{i}}$ τα σημεία των ${{C}_{i}}$ που οι ${{M}_{i}}A$ τέμνουν για δεύτερη φορά τους

κύκλους ${{C}_{i}}$ . Να δεχτεί ότι οι κάθετες στις ${{M}_{i}}A$ στα σημεία ${{P}_{i}}$ διέρχονται από

σταθερό σημείο.

Ευχαριστώ τον κύριο Νίκο (Doloros) που

είδε το λάθος στο σχήμα σε σχέση με αυτά

που έγραφα στην εκφώνηση.

Έστω ότι η

επανατέμνει τον κύκλο (A,B,P)

κέντρου

στο

και την

στο

Οι

είναι διάμετροί του και το ABLQ

ορθογώνιο

Οι μπλε γωνίες είναι συμπληρώματα των ίσων κόκκινων γωνιών ,οπότε B,P,S,M

ομοκυκλικά,συνεπώς η

περνά από το

Aπό θ.κ.δέσμης έχουμε $\dfrac{x}{b}= \dfrac{a+b}{a} \Rightarrow x= \dfrac{b(a+b)}{a}$ άρα

σταθερό σημείο

: κύκλος και σταθερό σημείο.png (44.63 KiB) Προβλήθηκε 504 φορές

Κύκλος και σταθερό σημείο

Κύκλος και σταθερό σημείο

Re: Κύκλος και σταθερό σημείο

Re: Κύκλος και σταθερό σημείο

Re: Κύκλος και σταθερό σημείο

Μέλη σε σύνδεση