Κύκλος διχοτομεί ύψος

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ όλους!

: 21-2 Κύκλος διχοτομεί ύψος.png (133.08 KiB) Προβλήθηκε 1040 φορές

Το

είναι ύψος του ισοσκελούς ( AB=AC

) τριγώνου ABC

με $\widehat{A}< 90^o$ .

Το

είναι το μέσον της

και το

η (ορθή) προβολή του

στην

.

Στην προέκταση του

θεωρούμε το

ώστε $\widehat{BCE}=\widehat{BAC}$ .

Να εξεταστεί αν ο κύκλος των σημείων διέρχεται από το μέσον του

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Henri van Aubel · #2

Έχουμε $\angle ACE=180^\circ-\angle B ,\angle AEC=2\angle B-90^\circ$

Άρα, έπεται ότι $\displaystyle \frac{AC}{AE}=\frac{\sin \angle AEC}{\sin \angle ACE}=\frac{\sin \left ( 2\angle B-90^\circ \right )}{\sin \angle B}:(1)$

Επιπλέον, είναι $\displaystyle \frac{AN}{AC}=\frac{AN}{AH}\cdot \frac{AH}{AC}=\sin\angle B\cdot \sin \angle B:(2)$

Από αυτές , είναι $\displaystyle \frac{AN}{AE}=\sin \left ( 2\angle B-90^\circ \right )\cdot \sin \angle B:(3)$

Επίσης $\angle NAE=90^\circ-\angle B:(4)$

Από $\displaystyle (3),(4)\Rightarrow \tan \angle ANE=\frac{1}{\tan \angle B\cdot \left [ \sin \left ( 2\angle B-90^\circ \right )-1 \right ]}:(5)$

Έχουμε $\displaystyle \frac{AM}{AN}=\frac{AM}{AH}\cdot \frac{AH}{AN}=\frac{1}{2\sin \angle B}\cdot \frac{1}{\sin \angle B}=\frac{1}{2\sin \angle B\cdot \sin \angle B}:(6)$

Επίσης $\angle MAN=180^\circ-2\angle B:(7)$

Από $\displaystyle \left ( 6 \right ),\left ( 7 \right )\Rightarrow \tan \angle ANM=\frac{\sin 2\angle B}{2\sin ^{2}\angle B+\cos 2\angle B}=\sin 2 \angle B :(8)$

Από $\displaystyle \left ( 5 \right ),\left ( 8 \right )\Rightarrow \tan \angle ANE\cdot \tan \angle ANM=-1 :(9)$

Όμως αν $AL=LH,AM=MB\Rightarrow ML//BH\Rightarrow \angle MLE\equiv \angle MLH=90^\circ$

Για να είναι εγγράψιμο το $MLNE\Rightarrow \angle MNE=\angle MLE=90^\circ\Leftrightarrow \tan \angle ANE\cdot \tan \angle ANM=-1:(10)$

Από (9),(10) προκύπτει ότι το ζητούμενο ισχύει

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλησπέρα.
Σ' ευχαριστώ Κώστα για την ενασχόληση σου με το θέμα και την ως άνω λύση!

Σκοπεύω να δώσω και προσωπική (Γεωμετρική,λόγω φακέλου) προσέγγιση..

αφήνοντάς το για μερικές ακόμη μέρες-ως θεματοθέτης- στη διάθεση όλων των φίλων!

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Τρί Φεβ 21, 2023 11:04 pm Χαιρετώ όλους!
21-2 Κύκλος διχοτομεί ύψος.png
Το είναι ύψος του ισοσκελούς ( ) τριγώνου με $\widehat{A}< 90^o$ .

Το είναι το μέσον της και το η (ορθή) προβολή του στην .

Στην προέκταση του θεωρούμε το ώστε $\widehat{BCE}=\widehat{BAC}$ .

Να εξεταστεί αν ο κύκλος των σημείων διέρχεται από το μέσον του

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Δεν γράφω τον κύκλο που ζητά η εκφώνηση να μην «βαρύνει» το σχήμα.

Για να δείξω ότι ο κύκλος $\left( {M,N,E} \right)$ διέρχεται από το

, αρκεί να δείξω ότι το

τετράπλευρο MLNE

είναι εγγράψιμο κι επειδή το

βλέπει την

υπό ορθή

γωνία , αρκεί να δείξω ότι $MN \bot NE$ . Ας είναι

το μέσο του

.

Προφανώς το HNZL

είναι εγγράψιμο. Θα έχω έτσι $\widehat {EHN} = \widehat {MZM}$ $\left( 1 \right)$ .

: Κύκλος διχοτομεί ύψος_ok.png (23.61 KiB) Προβλήθηκε 863 φορές

Επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα , $HEC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NZH$ είναι όμοια $\left( {\widehat {HCE} = \widehat {HZN} = 2\theta } \right)$ έχω:

$\dfrac{{NZ}}{{NH}} = \dfrac{{HC}}{{EH}} = \dfrac{{HZ}}{{EC}} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{NZ}}{{NH}} = \dfrac{{MZ}}{{EH}}} = \dfrac{{HZ}}{{EC}}$ και λόγω της $\left( 1 \right)$ μας εξασφαλίζει ότι :

$\vartriangle HEN \approx \vartriangle ZMN \Rightarrow \widehat {HEN} = \widehat {ZMN}$ και άρα $\boxed{MN \bot NE}$ όπως θέλω .

: Κύκλος διχοτομεί ύψος_ok_ok.png (28.15 KiB) Προβλήθηκε 857 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Τρί Φεβ 21, 2023 11:04 pm Χαιρετώ όλους!
21-2 Κύκλος διχοτομεί ύψος.png
Το είναι ύψος του ισοσκελούς ( ) τριγώνου με $\widehat{A}< 90^o$ .

Το είναι το μέσον της και το η (ορθή) προβολή του στην .

Στην προέκταση του θεωρούμε το ώστε $\widehat{BCE}=\widehat{BAC}$ .

Να εξεταστεί αν ο κύκλος των σημείων διέρχεται από το μέσον του

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Ας είναι

μέσον του

κι έστω $EC \cap HN=Q$ και $AB \cap NH=P$ .

Επειδή $\angle HCE= \angle A$ και $\angle NHC= \angle \dfrac{A}{2}$ θα είναι $\angle HQC= \angle \dfrac{A}{2}$

οπότε τα A,Q,E,P

είναι ομοκυκλικά,όπως και τα A,H,C,Q

Έτσι, $\angle APE=90^0$ οπότε M,L,E,P

ομοκυκλικά κι επειδή οι μπλε γωνίες προφανώς είναι ίσες, επίσης N,L,E,P

ομοκυκλικά,άρα M,L,N,E

ομοκυκλικά

: κύκλος διχοτομεί ύψος.png (28.69 KiB) Προβλήθηκε 843 φορές

Κύκλος διχοτομεί ύψος

Κύκλος διχοτομεί ύψος

Re: Κύκλος διχοτομεί ύψος

Re: Κύκλος διχοτομεί ύψος

Re: Κύκλος διχοτομεί ύψος

Re: Κύκλος διχοτομεί ύψος

Μέλη σε σύνδεση