Τραπεζιακός λογισμός

KARKAR · #1

: Τραπεζιακός λογισμός.png (13.77 KiB) Προβλήθηκε 815 φορές

Στην προέκταση της ακτίνας OP=r

, ενός κύκλου θεωρούμε σημείο

, ώστε :

. Φέρουμε τα εφαπτόμενα

τμήματα : SA,SB

και συμπληρώνουμε το ορθογώνιο τραπέζιο SBTA

, στο οποίο ζητούμε τον λόγο : $\dfrac{BS}{TA}$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 02, 2023 1:06 pm
Τραπεζιακός λογισμός.pngΣτην προέκταση της ακτίνας , ενός κύκλου θεωρούμε σημείο , ώστε : . Φέρουμε τα εφαπτόμενα

τμήματα : και συμπληρώνουμε το ορθογώνιο τραπέζιο , στο οποίο ζητούμε τον λόγο : $\dfrac{BS}{TA}$

Ας είναι ,

το σημείο τομής των $\,\,AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OS\,\,$ ,

το αντιδιαμετρικό του

και $\,Z\,$ το άλλο σημείο τομής του κύκλου με την

.

Αν $\boxed{OH = x \Rightarrow AZ = 2x}$ . Η τετράδα $\left( {Q,H\backslash O,S} \right)$ είναι αρμονική .

Από την αρμονική αναλογία , $\dfrac{{OH}}{{OQ}} = \dfrac{{SH}}{{SQ}} \Rightarrow \dfrac{x}{r} = \dfrac{{r + x}}{{2r + s}} \Rightarrow x = \dfrac{{{r^2}}}{{r + s}} \Rightarrow \boxed{AZ = \dfrac{{2{r^2}}}{{r + s}}}\,\,\left( 1 \right)$

: Τραπεζιακός λογισμός.png (23.46 KiB) Προβλήθηκε 776 φορές

Από την $\left( 1 \right)$ και την προφανή ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων , $TAZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BSO$ έχω:

$\boxed{\frac{{TA}}{{BS}} = \frac{{AZ}}{{OS}} = \frac{{2x}}{{r + s}} = \frac{{2{r^2}}}{{{{\left( {s + r} \right)}^2}}}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 02, 2023 1:06 pm
Τραπεζιακός λογισμός.pngΣτην προέκταση της ακτίνας , ενός κύκλου θεωρούμε σημείο , ώστε : . Φέρουμε τα εφαπτόμενα

τμήματα : και συμπληρώνουμε το ορθογώνιο τραπέζιο , στο οποίο ζητούμε τον λόγο : $\dfrac{BS}{TA}$

Είναι , $\triangle ATM\simeq \triangle ASB \Rightarrow \dfrac{AT}{AB}= \dfrac{AM}{BS} \Rightarrow \dfrac{AT}{2BM}= \dfrac{BM}{BS} \Rightarrow \dfrac{AT}{BS}= \dfrac{2BM^2}{BS^2}$

Αλλά $sin \theta = \dfrac{BM}{BS}= \dfrac{r}{r+s}$ . Άρα $\dfrac{AT}{BS}=2 (\dfrac{r}{r+s})^2$

: Τραπεζιακός λογισμός.png (27.32 KiB) Προβλήθηκε 750 φορές

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 02, 2023 1:06 pm
Τραπεζιακός λογισμός.pngΣτην προέκταση της ακτίνας , ενός κύκλου θεωρούμε σημείο , ώστε : . Φέρουμε τα εφαπτόμενα

τμήματα : και συμπληρώνουμε το ορθογώνιο τραπέζιο , στο οποίο ζητούμε τον λόγο : $\dfrac{BS}{TA}$

$\displaystyle S{A^2} = S{B^2} = {(r + s)^2} - {r^2} \Leftrightarrow SA = SB = \sqrt {{s^2} + 2rs}$

$\displaystyle {r^2} = ON(r + s) \Leftrightarrow ON = \frac{{{r^2}}}{{r + s}},SN = \frac{{S{B^2}}}{{r + s}} \Rightarrow BN = \sqrt {ON \cdot NS} = \frac{r}{{r + s}}SB$

: Τραπεζιακός λογισμός.png (14.46 KiB) Προβλήθηκε 719 φορές

Από την ομοιότητα των τριγώνων BON, BAT,

είναι:

$\displaystyle \frac{{ON}}{{AT}} = \frac{r}{{2BN}} \Leftrightarrow AT = \frac{{2{r^2}SB}}{{{{(r + s)}^2}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{SB}}{{AT}} = \frac{1}{2}{\left( {\frac{{r + s}}{r}} \right)^2}}$

nickchalkida · #5

Τίποτα ξεχωριστό. Επειδή $\displaystyle OB^2=OC\cdot OS \rightarrow OC = \dfrac{r^2}{r+s}$ . Τότε είναι

$\displaystyle{ \left. \begin{aligned} & \triangle ATB \sim \triangle OBS \rightarrow \dfrac{AT}{AB} = \dfrac{OB}{OS} = \dfrac{r}{r+s} \cr & \dfrac{AB}{BS} = \dfrac{2CB}{BS} = \dfrac{2OC}{OB} = 2 \dfrac{r^2}{r+s} \dfrac{1}{r} = \dfrac{2r}{r+s} \cr \end{aligned} \right\} \rightarrow \dfrac{AT}{BS} = \dfrac{AT}{AB} \dfrac{AB}{BS} = 2 \left( \dfrac{r}{r+s} \right)^2 }$

Τραπεζιακός λογισμός

Τραπεζιακός λογισμός

Re: Τραπεζιακός λογισμός

Re: Τραπεζιακός λογισμός

Re: Τραπεζιακός λογισμός

Re: Τραπεζιακός λογισμός

Μέλη σε σύνδεση