Μία ανισότητα

Συντονιστής: R BORIS

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5553
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: International
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Tolaso J Kos

Μία ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μαρ 12, 2023 9:26 am

Αν η f έχει συνεχή και γνησίως φθίνουσα παράγωγο στο [0, 1] τότε να δειχθεί ότι

\displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}x}{1+f^2(x)} \leq \frac{f(1)}{f'(1)}}
αν f(0)=0 και f'(1)>0.


Άνευ λύσης!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Λέξεις Κλειδιά:
Γ-Λυκείου
ανισότητα
ολοκλήρωμα
Κορυφή
Eukleidis
Δημοσιεύσεις: 673
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 01, 2009 9:55 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Μία ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eukleidis » Κυρ Μαρ 12, 2023 4:33 pm

Αφού f' γνησίως φθίνουσα είναι f'(x) \geq f' (1)>0 (1).
Άρα η f γνησίως αύξουσα με f(x)>0.

Άρα {\int_{0}^{1} \frac{f'(1)\mathrm{d}x}{1+f^2(x)} \leq {\int_{0}^{1} \frac{f'(x)\mathrm{d}x}{1+f^2(x)}}}=[arctan(f(x))]^{1} _{0}=arctan(f(1)) \leq f(1),

καθώς arctan(x) \leq x για θετικά x.


Γιώργος
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης