Τεστ Εξάσκησης (52), Μικροί

#1

ΘΕΜΑ 1
Έστω a,b,c

διαφορετικοί ανά δύο πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε οι εξισώσεις x^2+ax+1=0

και

να έχουν κοινή πραγματική ρίζα, όπως και οι εξισώσεις x^2+x+a=0

και

Να βρεθεί το άθροισμα a+b+c

.

ΘΕΜΑ 2
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη μη αρνητικών ακεραίων αριθμών (x,y)

τέτοια, ώστε $\displaystyle{\sqrt{x+y}-\sqrt{x}-\sqrt{y}+2=0.}$

ΘΕΜΑ 3
Οι κύκλοι k_1

και

τέμνονται στα σημεία

και

Η κοινή εφαπτομένη τους από την πλευρά του

εφάπτεται στον k_1

στο

και στον

στο

Η ευθεία

τέμνει τον k_2,

για δεύτερη φορά, στο

Αν

το μέσο της χορδής BC,

να δείξετε ότι $\displaystyle{\angle DPM = \angle BDC.}$

ΘΕΜΑ 4
Σε ένα διαγωνισμό συμμετέχουν

μαθητές. Δόθηκαν για λύση τέσσερα προβλήματα. Κάθε πρόβλημα είτε λύθηκε από κάποιο μαθητή είτε όχι.
Να δείξετε ότι είτε υπάρχουν υπάρχουν τέσσερις μαθητές που έλυσαν ακριβώς τα ίδια προβλήματα (ίσως και κανένα) είτε υπάρχουν δύο μαθητές από τους οποίους ο ένας έλυσε όσα προβλήματα δεν έλυσε ο άλλος.

Lazaros Karageorgiou · #2

Η λύση μου για το 4ο Θέμα:
Αφού έχουμε 4 προβλήματα, ο συνολικός αριθμός διαφορετικών συνδυασμών απαντήσεων που μπορεί να έχει δώσει ένας μαθητής είναι 2^4

. Υποθέτω ότι δεν υπάρχουν δύο μαθητές από τους οποίους ο ένας έλυσε όσα προβλήματα δεν έλυσε ο άλλος. Τότε οι πίθανοί συνδυασμοί απαντήσεων που μπορεί να έχει δώσει ο κάθε μαθητής μειώνονται σε 8 (αφού για κάθε έναν από τους 16 συνδυασμούς που είχαμε πριν υπάρχει και ένας συμπληρωματικός του ο οποιος, σύμφωνα με την υπόθεσή μας, δεν έχει δωθεί από κανέναν μαθητή). Τότε, σύμφωνα με την αρχή της περιστεροφωλιάς, αφού 25=3*8+1

, υπάρχει ένας συνδυασμός απαντήσεων που έχει χρησιμοποιηθεί από τουλάχιστον 4 μαθητές και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

#3

socrates έγραψε: Κυρ Φεβ 20, 2022 5:03 pm ΘΕΜΑ 2
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη μη αρνητικών ακεραίων αριθμών τέτοια, ώστε $\displaystyle{\sqrt{x+y}-\sqrt{x}-\sqrt{y}+2=0.}$

Έχουμε: $\displaystyle{\sqrt{x+y}+2=\sqrt{x}+\sqrt{y}}$ και με ύψωση στο τετράγωνο παίρνουμε:

$\displaystyle{2\sqrt{x+y}=\sqrt{xy}-2}$ από όπου προκύπτει ότι $\displaystyle{\sqrt{xy}-2\geq 0}$ και άρα $\displaystyle{xy\geq 4}$ .

Με νέα ύψωση στο τετράγωνο έχουμε: $\displaystyle{4\sqrt{xy}=xy+4-4x-4y}$ , (1) . Kαι αφού το δεύτερο μέλος είναι ακέραιος, θα πρέπει

να είναι ακέραιος και το πρώτο μέλος. Άρα $\displaystyle{xy=k^2}$ , με $\displaystyle{k}$ ακέραιο και $\displaystyle{k\geq 2}$ .

Έτσι η (1) gράφεται: $\displaystyle{4k=k^2 +4-4(x+y)\Rightarrow k^2 -4k+4=4(x+y)\Rightarrow}$

$\displaystyle{(k-2)^2 =4(x+y)}$ , (2) . Από εδώ, συμπεραίνουμε ότι πρέπει $\displaystyle{x+y=m^2}$ , όπου $\displaystyle{m}$ θετικός ακέραιος.

Έτσι η (2) γράφεται: $\displaystyle{(k-2)^2 =4m^2 \Rightarrow |k-2|=2|m|\Rightarrow k-2=2m\Rightarrow k=2m+2}$

Έχουμε λοιπόν βρει ότι:

$\displaystyle{xy=(2m+2)^2}$

$\displaystyle{x+y=m^2}$

Άρα τα $\displaystyle{x,y}$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης: $\displaystyle{a^2 -m^2 .a + (2m+2)^2 =0 }$

Η διακρίνουσα είναι $\displaystyle{D=m^4 -16(m+1)^2 =(m^2 -4m-4)(m^2 -4m+4)=(m^2 -4m-4)(m-2)^2}$ .

Aφού τα $\displaystyle{x,y}$ είναι αριθμοί ακέραιοι, θα πρέπει αρχικά να είναι η διακρίνουσα τέλειο τετράγωνο.

Άρα πρέπει ο αριθμός $\displaystyle{m^2 -4m-4}$ να είναι τέλειο τετράγωνο.

Παρατηρούμε ότι για κάθε $\displaystyle{m\geq 7}$ ισχύει: $\displaystyle{(m-3)^2 \leq m^2 -4m-4\leq (m-2)^2 }$ , (η απόδειξη απλή).

Άρα αν $\displaystyle{m\geq 7}$ , η διακρίνουσα δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο, αφού είναι ανάμεσα σε δύο διαδοχικά

τέλεια τετράγωνα. Μένει λοιπόν να εξετάσουμε τις τιμές $\displaystyle{1,2,3,4,5,6}$ για το $\displaystyle{m}$ .

Παρατηρούμε ότι μόνο όταν $\displaystyle{m=5}$ , ο αριθμός $\displaystyle{m^2 -4m-4}$ είναι τέλειο τετράγωνο. Συνεπώς τα $\displaystyle{x,y}$

είναι οι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{a^2 -25a +144=0}$ , η οποία έχει διακρίνουσα $\displaystyle{D=49}$ και ρίζες τους αριθμούς $\displaystyle{9}$ και $\displaystyle{16}$

Άρα $\displaystyle{(x,y)=(9,16)}$ ή $\displaystyle{((x,y)=(16,9)}$ , (οι οποίες επαληθεύουν την αρχική ισότητα)

#4

socrates έγραψε: Κυρ Φεβ 20, 2022 5:03 pm ΘΕΜΑ 3
Οι κύκλοι και τέμνονται στα σημεία και Η κοινή εφαπτομένη τους από την πλευρά του εφάπτεται στον στο και στον στο
Η ευθεία τέμνει τον για δεύτερη φορά, στο Αν το μέσο της χορδής να δείξετε ότι $\displaystyle{\angle DPM = \angle BDC.}$

Η κοινή χορδή

τέμνει το

στο μέσο του

, άρα $NM//AC\,\,\left( 1 \right)$ . έστω

η τομή της

με τον κύκλο ${K_2}$ .

Από την παραλληλία αυτή και τη σχέση χορδής κι εφαπτομένης οι του ίδιου χρώματος γωνίες είναι ίσες .

Μα τώρα το τετράπλευρο BNPM

είναι εγράψιμο και άρα : $\widehat {MNB} = \widehat {MPB}$ οπότε η πράσινη είναι ίση με κάθε κίτρινη .

: Τέστ εξάσκησης 52_μικροί.png (35.34 KiB) Προβλήθηκε 1132 φορές

Συνεπώς έχω και BE//NM

δηλαδή λόγω της $\left( 1 \right)$ , BE//DC

που μας εξασφαλίζει

ότι το τετράπλευρο DCEB

είναι ισοσκελές τραπέζιο . Άρα : $\boxed{\widehat {CDB} = \widehat {ECD} = \widehat {MPD}}$

#5

socrates έγραψε: Κυρ Φεβ 20, 2022 5:03 pm ΘΕΜΑ 2
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη μη αρνητικών ακεραίων αριθμών τέτοια, ώστε $\displaystyle{\sqrt{x+y}-\sqrt{x}-\sqrt{y}+2=0.}$

Πηγή:
https://artofproblemsolving.com/communi ... 08p3416672

Τεστ Εξάσκησης (52), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (52), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (52), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (52), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (52), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (52), Μικροί

Μέλη σε σύνδεση