Συντρέχεια

[Henri van Aubel]

Έστω ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων , σημείο του άξονα με σημεία του άξονα τέτοια ώστε και το τρίγωνο είναι οξυγώνιο. Έστω ύψος, ορθόκεντρο και μέσο της πλευράς του τριγώνου και η αρχή των αξόνων. Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων τέμνονται στα σημεία με το προς το μέρος του ως προς Ερώτημα: Να εξετάσετε αν οι ευθείες συντρέχουν (και μάλιστα σε σημείο του κύκλου ).

Y.Σ Για όποιον το κάνει με αναλυτική γεωμετρία, χρειάζεται γενναιότητα στην πληκτρολόγηση. :lol:

[Ορέστης Λιγνός]

Έστω ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων , σημείο του άξονα με σημεία του άξονα τέτοια ώστε και το τρίγωνο είναι οξυγώνιο. Έστω ύψος, ορθόκεντρο και μέσο της πλευράς του τριγώνου και η αρχή των αξόνων. Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων τέμνονται στα σημεία με το προς το μέρος του ως προς Ερώτημα: Να εξετάσετε αν οι ευθείες συντρέχουν (και μάλιστα σε σημείο του κύκλου ).

Y.Σ Για όποιον το κάνει με αναλυτική γεωμετρία, χρειάζεται γενναιότητα στην πληκτρολόγηση.

Γράφω μια λύση με αναλυτική γεωμετρία.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Αστειεύομαι

Μέρος 1: Οι ευθείς τέμνονται πάνω στον κύκλο . Έστω η αρνητική αντιστροφή με πόλο και ακτίνα . Αυτή η αντιστροφή στέλνει το σημείο στο , το στο και τούμπαλιν. Επιλέον, αν η ημιευθεία τέμνει τον κύκλο στο σημείο , τότε τα σημεία είναι αντίστροφα, καθώς



όπου τα σημεία τομής των ημιευθειών και με τον κύκλο .

Συνεπώς, ο κύκλος έχει ως εικόνα την ευθεία , και ο κύκλος τον κύκλο , δηλαδή τον κύκλο . Άρα, αν η ευθεία τέμνει τον στα σημεία , με το προς το μέρος του ως προς την , τότε τα σημεία και είναι συνευθειακά, καθώς τα σημεία είναι οι εικόνες των σημείων αντίστοιχα στην αντιστροφή .

Μέρος 2: Οι ευθείς τέμνονται πάνω στον κύκλο . Έστω η αντιστροφή με πόλο και ακτίνα . Αυτή η αντιστροφή κρατά σταθερά τα σημεία , και στέλνει το σημείο στο σημείο , καθώς

.

Συνεπώς, η εικόνα του κύκλου είναι ο κύκλος , και η εικόνα του κύκλου η ευθεία . Άρα, οι εικόνες των σημείων είναι τα σημεία , αντίστοιχα, πράγμα που σημαίνει ότι τα σημεία είναι συνευθειακά, δηλαδή η ευθεία περνά από το σημείο , όπως θέλαμε.

Συνδυάζοντας τα δύο αποτελέσματα, έχουμε το ζητούμενο.