H μέση τιμή της μέσης τιμής

#1

Έστω $f:[a,\,b]\to \mathbb R$ συνεχής στο [a,b]

και παραγωγίσιμη στο (a,b)

και έστω $n\in \mathbb N^*$ . Δείξτε ότι υπάρχουν διαφορετικά ανά δύο $\xi_1,\, \xi_2, \,... \, ,\xi_n\in (a,\, b)$ τέτοια ώστε

$\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a} = \dfrac {1}{n} \left ( f'(\xi_1)+ f'(\xi_2)+ \,... \, ,f'(\xi_n) \right )$

#2

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Απρ 30, 2023 11:06 pm Έστω $f:[a,\,b]\to \mathbb R$ συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο και έστω $n\in \mathbb N^*$ . Δείξτε ότι υπάρχουν διαφορετικά ανά δύο $\xi_1,\, \xi_2, \,... \, ,\xi_n\in (a,\, b)$ τέτοια ώστε

$\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a} = \dfrac {1}{n} \left ( f'(\xi_1)+ f'(\xi_2)+ \,... \, ,f'(\xi_n) \right )$

Χωρίζω το

σε

ίσα διαστήματα πλάτους $\dfrac{b-a}{n}$ και εφαρμόζω ΘΜΤ σε καθένα από αυτά.

$\displaystyle f'({\xi _1}) = \frac{{f\left( {a + \frac{{b - a}}{n}} \right) - f(a)}}{{\frac{{b - a}}{n}}},f'({\xi _2}) = \frac{{f\left( {a + 2 \cdot \frac{{b - a}}{n}} \right) - f\left( {a + \frac{{b - a}}{n}} \right)}}{{\frac{{b - a}}{n}}},...$

$\displaystyle f'({\xi _n}) = \frac{{f(b) - f\left( {b - \frac{{b - a}}{n}} \right)}}{{\frac{{b - a}}{n}}}.$ Με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει το ζητούμενο.

Προφανώς, $\displaystyle {\xi _1},{\xi _2},...,{\xi _n} \in (a,b)$ και είναι διαφορετικά ανά δύο.

ksofsa · #3

Με επιφύλαξη:

Θεωρώ συνάρτηση

$g(x)=\sum_{k=0}^{n-1}f(a+\dfrac{k(b-a)}{n}+x)$ ,

η οποία είναι συνεχής στο $[0,\dfrac{b-a}{n}]$ και παραγωγίσιμη στο $(0,\dfrac{b-a}{n})$ .

Από το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού, υπάρχει $\xi \epsilon (0,\dfrac{b-a}{n})$ , τέτοιο ώστε:

$\dfrac{g(\dfrac{b-a}{n})-g(0)}{\dfrac{b-a}{n}}=g'(\xi )\Leftrightarrow \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{1}{n}g'(\xi )$ .

Δείχνουμε ,λοιπόν, ότι όχι μόνο υπάρχουν διαφορετικά σημεία με τη ζητούμενη ιδιότητα, αλλά και ότι δύνανται να ισαπέχουν ανά δύο διαδοχικά απόσταση $\dfrac{b-a}{n}$ .

#4

.
Την ιδέα για την κατασκευή της άσκησης την πήρα από την ωραία λύση του Σιλουανού εδώ. Αυτό που είχα κατά νου είναι η λύση του Γιώργου.
.

ksofsa έγραψε: Δευ Μάιος 01, 2023 6:05 pm Δείχνουμε ,λοιπόν, ότι όχι μόνο υπάρχουν διαφορετικά σημεία με τη ζητούμενη ιδιότητα, αλλά και ότι δύνανται να ισαπέχουν ανά δύο διαδοχικά απόσταση $\dfrac{b-a}{n}$ .

Με εξέπληξε θετικά η ισχυρή βελτίωση του αποτελέσματος.

H μέση τιμή της μέσης τιμής

H μέση τιμή της μέσης τιμής

Re: H μέση τιμή της μέσης τιμής

Re: H μέση τιμή της μέσης τιμής

Re: H μέση τιμή της μέσης τιμής

Μέλη σε σύνδεση