Πόσοι τουλάχιστον είναι οι μαθητές;

#1

Ο δάσκαλος έγραψε στον πίνακα ένα μονοψήφιο αριθμό και ύστερα ένα - ένα κάθε παιδί έγραφαν εναλλάξ
έναν άρτιο ή περιττό μονοψήφιο αριθμό (δηλαδή αν το παιδί έβλεπε να έχει γράψει ο προηγούμενος του
έναν άρτιο, τότε αυτός θα έγραφε περιττό και αντιστρόφως). Στο τέλος άθροισαν όλους τους αριθμούς
που ήταν γραμμένοι στον πίνακα και βρήκαν άθροισμα $\displaystyle{193}$ .
Πόσους τουλάχιστον μαθητές έχει η τάξη;

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Κυρ Απρ 30, 2023 11:11 pm Ο δάσκαλος έγραψε στον πίνακα ένα μονοψήφιο αριθμό και ύστερα ένα - ένα κάθε παιδί έγραφαν εναλλάξ
έναν άρτιο ή περιττό μονοψήφιο αριθμό (δηλαδή αν το παιδί έβλεπε να έχει γράψει ο προηγούμενος του
έναν άρτιο, τότε αυτός θα έγραφε περιττό και αντιστρόφως). Στο τέλος άθροισαν όλους τους αριθμούς
που ήταν γραμμένοι στον πίνακα και βρήκαν άθροισμα $\displaystyle{193}$ .
Πόσους τουλάχιστον μαθητές έχει η τάξη;

To μεγαλύτερο δυνατό άθροισμα που μπορούν να γράψουν δύο παιδιά, το ένα μετά τον άλλο, είναι 9+8=17

. Μετά από

τέτοια ζεύγη (δηλαδή συνολικά

παιδιά) το άθροισμα είναι $11\times 17 = 187$ . Με έναν ακόμη μονοψήφιο (τον αρχικό του δασκάλου) φτάνουμε τον 193

. Με ένα λιγότερο παιδί είναι σαφές ότι δεν θα φτάναμε άθροισμα 193

. Άρα τα παιδιά είναι τουλάχιστον

.

#3

Ήδη ο Μιχάλης έχει δώσει την λύση. Ας προσθέσω ακόμα ένα ερώτημα:
Αν θελήσουμε να βρούμε και ποιον αριθμό έγραψε ο δάσκαλος στην αρχή, μπορούμε να σκεφτούμε ως εξής:

Από την λύση που έχει γράψει ο Μιχάλης πιο πάνω, είδαμε ότι οι αριθμοί που πρέπει να είχαν γραφτεί στον πίνακα ώστε να
βρούμε τον ελάχιστο αριθμό των μαθητών στην τάξη, είναι μόνο $\displaystyle{11}$ εννιάρια, $\displaystyle{11}$ οκτάρια και ένα έξι.
(Αυτό μπορεί να βρεθεί ως εξής: Ας υποθέσουμε ότι έχουμε $\displaystyle{x}$ εννιάρια και $\displaystyle{x}$ οκτάρια. Τότε το άθροισμα αυτών θα είναι
$\displaystyle{9x+8x = 17x}$ .
Από την Ευκλείδεια διαίρεση, με διαιρετέο το $\displaystyle{193}$ και διαιρέτη το $\displaystyle{17}$ έχουμε: $\displaystyle{193=17.11 +6}$ .
Άρα πρέπει να γραφτούν $\displaystyle{11}$ εννιάρια, $\displaystyle{11}$ οκτάρια και περισσεύει και το εξάρι)

Ας υποθέσουμε ότι ο δάσκαλος έγραψε πρώτα το $\displaystyle{9}$ . Τότε μια σειρά που θα μπορούσαν να γραφτούν οι αριθμοί είναι
η εξής: $\displaystyle{9,8,9,8,9,8,9,8,9,8,9,8,9,8,9,8,9,8,9,8,9,8}$ και απομένει το $\displaystyle{6}$ που όμως δεν μπορεί να γραφτεί ούτε στο τέλος,
ούτε σε καμία θέση μετά από αυτήν του δασκάλου (γιατί τότε κάπου θα υπήρχαν δύο άρτιοι ο ένας δίπλα στον άλλο).
Πχ θα είχαμε την σειρά: $\displaystyle{9,8,9,6,9,8,9,8,9,8,9,8,9,8,9,8,9,8,9,8,9,8,8}$ , που απορρίπτεται

Οπότε για να έχουμε το άθροισμα $\displaystyle{193}$ , θα πρέπει να είχαμε ακόμα $\displaystyle{3}$ μαθητές, οι οποίοι θα έγραφαν τους αριθμούς
$\displaystyle{1,2,3}$ π.χ στο τέλος , και έτσι οι μαθητές θα ήταν $\displaystyle{24}$

Αν ο δάσκαλος έγραφε στην αρχή το $\displaystyle{8}$ , τότε θα μπορούσαμε να είχαμε την σειρά: $\displaystyle{8,9,8,9,8,9,8,9,8,9,8,9,8,9,8,9,8,9,8,9,8,9,6}$
και οι μαθητές θα ήταν $\displaystyle{22}$

Ομοίως αν ο δάσκαλος έγραφε πρώτα το $\displaystyle{6}$ , τότε πάλι οι μαθητές θα ήταν $\displaystyle{22}$

Άρα ο δάσκαλος θα έγραφε στην αρχή ή τον αριθμό $\displaystyle{6}$ ή τον αριθμό $\displaystyle{8}$ , ώστε να μπορούσαμε να βρούμε τον ελάχιστο αριθμό
των μαθητών.

Πόσοι τουλάχιστον είναι οι μαθητές;

Πόσοι τουλάχιστον είναι οι μαθητές;

Re: Πόσοι τουλάχιστον είναι οι μαθητές;

Re: Πόσοι τουλάχιστον είναι οι μαθητές;

Μέλη σε σύνδεση