Μέγιστο τριγωνομετρικό

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Να βρεθεί το μέγιστο της συνάρτησης $f(\theta )=\sin\theta (1+\cos\theta ),0<\theta <\pi /2.$

#2

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Τρί Μάιος 09, 2023 1:56 pm Να βρεθεί το μέγιστο της συνάρτησης $f(\theta )=\sin\theta (1+\cos\theta ),0<\theta <\pi /2.$

$\displaystyle f'(\theta ) = {\cos ^2}\theta - {\sin ^2}\theta + \cos \theta = \cos 2\theta + \cos \theta ,0 < \theta < \frac{\pi }{2}$

$\displaystyle f'(\theta ) = 0 \Rightarrow \theta = \frac{\pi }{3}$ κι επειδή $\displaystyle f''\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = - \sqrt 3 < 0,$

η

παρουσιάζει για $\boxed{\theta = \frac{\pi }{3}}$ μέγιστο ίσο με $\boxed{f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}}$

Λάμπρος Κατσάπας · #3

george visvikis έγραψε: Τρί Μάιος 09, 2023 2:48 pm
Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Τρί Μάιος 09, 2023 1:56 pm Να βρεθεί το μέγιστο της συνάρτησης $f(\theta )=\sin\theta (1+\cos\theta ),0<\theta <\pi /2.$
$\displaystyle f'(\theta ) = {\cos ^2}\theta - {\sin ^2}\theta + \cos \theta = \cos 2\theta + \cos \theta ,0 < \theta < \frac{\pi }{2}$

$\displaystyle f'(\theta ) = 0 \Rightarrow \theta = \frac{\pi }{3}$ κι επειδή $\displaystyle f''\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = - \sqrt 3 < 0,$

η παρουσιάζει για $\boxed{\theta = \frac{\pi }{3}}$ μέγιστο ίσο με $\boxed{f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}}$

Σωστά κ.Γιώργο αλλά είμαστε σε φάκελο Άλγεβρας. Με παραγώγους είναι δύο γραμμές.

#4

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Τρί Μάιος 09, 2023 2:54 pm

Σωστά κ.Γιώργο αλλά είμαστε σε φάκελο Άλγεβρας. Με παραγώγους είναι δύο γραμμές.

Έχεις δίκιο. Δεν πρόσεξα το φάκελο. Θα γράψω αλγεβρική λύση αργότερα.

#5

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Τρί Μάιος 09, 2023 1:56 pm Να βρεθεί το μέγιστο της συνάρτησης $f(\theta )=\sin\theta (1+\cos\theta ),0<\theta <\pi /2.$

$\displaystyle f(\theta ) = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\theta } \cdot \sqrt {{{(1 + \cos \theta )}^2}} = \sqrt {(1 - \cos \theta ){{(1 + \cos \theta )}^3}}$

Επειδή $\displaystyle 1 - \cos \theta + 1 + \cos \theta = 2$ (σταθερό) το γινόμενο $\displaystyle (1 - \cos \theta ){(1 + \cos \theta )^3}$ μεγιστοποιείται όταν

$\displaystyle \frac{{1 - \cos \theta }}{1} = \frac{{1 + \cos \theta }}{3} \Leftrightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{0 < \theta < \frac{\pi }{2}} \theta = \frac{\pi }{3}$ με μέγιστη τιμή $\displaystyle f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}$

Μέγιστο τριγωνομετρικό

Μέγιστο τριγωνομετρικό

Re: Μέγιστο τριγωνομετρικό

Re: Μέγιστο τριγωνομετρικό

Re: Μέγιστο τριγωνομετρικό

Re: Μέγιστο τριγωνομετρικό

Μέλη σε σύνδεση