Από σταθερό σημείο

KARKAR · #1

: Από σταθερό σημείο.png (13.22 KiB) Προβλήθηκε 967 φορές

Στις πλευρές της γωνίας που σχηματίζουν ο ημιάξονας

και η ευθεία y=kx , k>0

, του πρώτου τεταρτημορίου ,

κινούνται σημεία A , B

, τέτοια ώστε : OA+OB = s

( σταθερό ) . Δείξτε ότι η μεσοκάθετος του

, διέρχεται

από σταθερό σημείο

. Υπολογίστε τις συντεταγμένες του

, στην περίπτωση που είναι : $k=\dfrac{12}{5}$ και : s=11

.

vgreco · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 12, 2023 7:49 pm
Από σταθερό σημείο.pngΣτις πλευρές της γωνίας που σχηματίζουν ο ημιάξονας και η ευθεία , του πρώτου τεταρτημορίου ,

κινούνται σημεία , τέτοια ώστε : ( σταθερό ) . Δείξτε ότι η μεσοκάθετος του , διέρχεται

από σταθερό σημείο . Υπολογίστε τις συντεταγμένες του , στην περίπτωση που είναι : $k=\dfrac{12}{5}$ και : .

Με την επιφύλαξη να υπάρχει πιο εύκολος τρόπος (και παραλείποντας αρκετές πράξεις

):

: apo_stathero_shmeio.png (11.68 KiB) Προβλήθηκε 901 φορές

Ας είναι

η τομή της διχοτόμου της $\widehat{O}$ με τον περίκυκλο του τριγώνου OBA

ακτίνας

.

Θα δείξουμε ότι $C \equiv S$ . Πραγματικά, από το θεώρημα Πτολεμαίου στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο OACB

:
$\displaystyle{ \begin{aligned} AB \cdot OC = BC \cdot OA + OB \cdot AC &\Leftrightarrow OC \cdot \cancel{2R} \cdot \sin\widehat{O} = OA \cdot \cancel{2R} \cdot \sin\dfrac{\widehat{O}}{2} + OB \cdot \cancel{2R} \cdot \sin\dfrac{\widehat{O}}{2} \\ &\Leftrightarrow OC = \dfrac{s}{\sqrt{2 \left(1 + \cos\widehat{O} \right)}} = \text{\gr ανεξάρτητο της θέσης των} \ A, B \end{aligned} }$ και αφού το

ανήκει σε σταθερή ευθεία (διχοτόμος σταθερής γωνίας), είναι και το ίδιο σταθερό. Σύμφωνα με το Θ. Νότιου Πόλου η μεσοκάθετος της

θα διέρχεται υποχρεωτικά από αυτό και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Τώρα, για $k = \dfrac{12}{5}$ , s = 11

, είναι $\displaystyle{\cos\widehat{O} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + k^2}} \Leftrightarrow \boxed{\cos\widehat{O} = \dfrac{5}{13}}}$ κι έτσι:

$\displaystyle{ OC = \dfrac{s}{\sqrt{2 \left(1 + \cos\widehat{O} \right)}} \Leftrightarrow \dots \Leftrightarrow \boxed{OC = \dfrac{11\sqrt{13}}{6}} }$ που σε συνδυασμό με το γεγονός ότι το

ανήκει στη διχοτόμο της $\widehat{O}$ , ήτοι στην $y = \tan\dfrac{\widehat{O}}{2} x = \dfrac{2}{3} x$ , βρίσκω $\boxed{S\left( \dfrac{11}{2}, \dfrac{11}{3} \right)}$ .

∫ot.T. · #3

Ένας άλλος τρόπος θα ήταν ο υπολογισμός της εξίσωσης της μεσοκαθέτου, η οποία είναι:
$y=\frac{(ck)^2+c^{2}-a^{2}+2xa-2xc}{2kc}$
Όπου το a είναι η τετμημένη του Α και c η τετμημένη του Β.
Τελικά για $x=\frac{s}{2}\Rightarrow y=\frac{s(\sqrt{k^{2}+1}-1)}{2k}$ , που αποτελούνται μόνο από σταθερούς όρους.

Από σταθερό σημείο

Από σταθερό σημείο

Re: Από σταθερό σημείο

Re: Από σταθερό σημείο

Μέλη σε σύνδεση