Εμβαδόν χωρίου και όριο

#1

Έστω η συνάρτηση

με $f\left( x \right) = \dfrac{{2x - {x^2}}}{{{e^x} + {x^2}}}$ .

α) Να βρεθεί το εμβαδόν, $E\left( k \right)$ , του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της

, τον άξονα x'x

και τις ευθείες με εξισώσεις : $x = 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,x = k$ με 0 < k < 1

.

β) Να βρεθεί το όριο $\mathop {\lim \,}\limits_{k \to {0^ + }} E\left( k \right)$ .

Tolaso J Kos · #2

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 29, 2023 11:35 am
Έστω η συνάρτηση με $f\left( x \right) = \dfrac{{2x - {x^2}}}{{{e^x} + {x^2}}}$ .

α) Να βρεθεί το εμβαδόν, $E\left( k \right)$ , του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της , τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις : $x = 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,x = k$ με .

β) Να βρεθεί το όριο $\mathop {\lim \,}\limits_{k \to {0^ + }} E\left( k \right)$ .

Γεια σου Νίκο,

(α) Επειδή $f(x)\geq 0$ στο εν λόγω διάστημα το εμβαδόν δίδεται του τύπου:

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathrm{E} \left ( \kappa \right ) &= \int_{0}^{\kappa} f(x)\, \mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\kappa} \frac{2x-x^2}{e^x+x^2}\, \mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\kappa} \frac{e^x +2x - e^x-x^2}{e^x+x^2}\, \mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\kappa} \left ( \frac{e^x+2x}{e^x+x^2} - \frac{e^x+x^2}{e^x+x^2} \right )\,\mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\kappa} \frac{\left ( e^x + x^2 \right )'}{e^x+x^2}\, \mathrm{d}x - \int_{0}^{\kappa} \, \mathrm{d}x \\ &= \left [ \ln \left ( e^x + x^2 \right ) \right ]_0^\kappa - \left ( \kappa -0 \right ) \\ &= \ln \left ( e^\kappa + \kappa^2 \right ) - \kappa \\ &= \ln \left ( e^\kappa + \kappa^2 \right ) - \ln e^\kappa \\ &= \ln \frac{e^\kappa + \kappa^2}{e^\kappa} \\ &= \ln \left ( 1 + \kappa^2 e^{-\kappa} \right ) \end{aligned}}$

(β) Είναι $\displaystyle{\lim_{\kappa \rightarrow 0^+} \mathrm{E}(\kappa) = \lim_{\kappa \rightarrow 0^+} \ln \left ( 1 + \kappa^2 e^{-\kappa} \right ) = 0}$ .

Διόρθωση τυπογραφικού ....

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 29, 2023 2:12 pm

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 29, 2023 11:35 am
Έστω η συνάρτηση με $f\left( x \right) = \dfrac{{2x - {x^2}}}{{{e^x} + {x^2}}}$ .

α) Να βρεθεί το εμβαδόν, $E\left( k \right)$ , του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της , τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις : $x = 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,x = k$ με .

β) Να βρεθεί το όριο $\mathop {\lim \,}\limits_{k \to {0^ + }} E\left( k \right)$ .
Γεια σου Νίκο,

(α) Επειδή $f(x)\geq 0$ στο εν λόγω διάστημα το εμβαδόν δίδεται του τύπου:

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathrm{E} \left ( \kappa \right ) &= \int_{0}^{\kappa} f(x)\, \mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\kappa} \frac{2x-x^2}{e^x+x^2}\, \mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\kappa} \frac{e^x +2x - e^x-x^2}{e^x+x^2}\, \mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\kappa} \left ( \frac{e^x+2x}{e^x+x^2} - \frac{e^x+x^2}{e^x+x^2} \right )\,\mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\kappa} \frac{\left ( e^x + x^2 \right )'}{e^x+x^2}\, \mathrm{d}x - \int_{0}^{\kappa} \, \mathrm{d}x \\ &= \left [ \ln \left ( e^x + x^2 \right ) \right ]_0^\kappa - \left ( \kappa -0 \right ) \\ &= \ln \left ( e^\kappa + \kappa^2 \right ) - \kappa \\ &= \ln \left ( e^\kappa + \kappa^2 \right ) - \ln e^\kappa \\ &= \ln \frac{e^\kappa + \kappa}{e^\kappa} \\ &= \ln \left ( 1 + \kappa e^{-\kappa} \right ) \end{aligned}}$

(β) Είναι $\displaystyle{\lim_{\kappa \rightarrow 0^+} \mathrm{E}(\kappa) = \lim_{\kappa \rightarrow 0^+} \ln \left ( 1 + \kappa e^{-\kappa} \right ) = 0}$ .

Henri van Aubel · #4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 29, 2023 2:12 pm

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 29, 2023 11:35 am
Έστω η συνάρτηση με $f\left( x \right) = \dfrac{{2x - {x^2}}}{{{e^x} + {x^2}}}$ .

α) Να βρεθεί το εμβαδόν, $E\left( k \right)$ , του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της , τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις : $x = 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,x = k$ με .

β) Να βρεθεί το όριο $\mathop {\lim \,}\limits_{k \to {0^ + }} E\left( k \right)$ .
Γεια σου Νίκο,

(α) Επειδή $f(x)\geq 0$ στο εν λόγω διάστημα το εμβαδόν δίδεται του τύπου:

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathrm{E} \left ( \kappa \right ) &= \int_{0}^{\kappa} f(x)\, \mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\kappa} \frac{2x-x^2}{e^x+x^2}\, \mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\kappa} \frac{e^x +2x - e^x-x^2}{e^x+x^2}\, \mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\kappa} \left ( \frac{e^x+2x}{e^x+x^2} - \frac{e^x+x^2}{e^x+x^2} \right )\,\mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\kappa} \frac{\left ( e^x + x^2 \right )'}{e^x+x^2}\, \mathrm{d}x - \int_{0}^{\kappa} \, \mathrm{d}x \\ &= \left [ \ln \left ( e^x + x^2 \right ) \right ]_0^\kappa - \left ( \kappa -0 \right ) \\ &= \ln \left ( e^\kappa + \kappa^2 \right ) - \kappa \\ &= \ln \left ( e^\kappa + \kappa^2 \right ) - \ln e^\kappa \\ &= \ln \frac{e^\kappa + \kappa}{e^\kappa} \\ &= \ln \left ( 1 + \kappa e^{-\kappa} \right ) \end{aligned}}$

(β) Είναι $\displaystyle{\lim_{\kappa \rightarrow 0^+} \mathrm{E}(\kappa) = \lim_{\kappa \rightarrow 0^+} \ln \left ( 1 + \kappa e^{-\kappa} \right ) = 0}$ .

Τόλη, παρόλο που είναι εύκολη η άσκηση, την έχεις γράψει τόσο καθαρογραμμένα που η λύση σου εντυπωσιάζει !!

Εμβαδόν χωρίου και όριο

Εμβαδόν χωρίου και όριο

Re: Εμβαδόν χωρίου και όριο

Re: Εμβαδόν χωρίου και όριο

Re: Εμβαδόν χωρίου και όριο

Μέλη σε σύνδεση