Συνάρτηση 1-1

[s.kap]

α) Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση , η οποία δεν είναι 1-1, αλλά ο περιορισμός της στους άρρητους είναι 1-1.
β) Έχουμε το ίδιο συμπέρασμα αν αντικαταστήσουμε τους άρρητους με ρητούς;
(Για το δεύτερο ερώτημα δεν έχω λύση)
Φιλικα

[χρηστος ευαγγελινος]

1)αν υποθεσουμε οτι τετοια συναρτηση υπαρχει τοτε θα ναι συνεχης και 1-1 στους αρρητους,οποτε θα ναι γνησιως μονοτονη σ αυτους.επειδη οι αρρητοι ειναι πυκνοι στους πραγματικους η συναρτηση θα ναι γν.μονοτονη στο R αρα και 1-1 ατοπο.

2) αν ειναι σωστο το πρωτο τοτε εχουμε το ιδιο επιχειρημα αλλα αναποδα χρησιμοποιωντας την πυκνοτητα των ρητων στους πραγματικους.

[s.kap]

Χρήστο,νομίζω πως για να συνεπάγεται η συνέχεια μαζί με το 1-1 το γνησίως μονότονη θα πρέπει να συμβαίνουν αυτά σε διάστημα και οι άρρητοι δεν συνιστούν διάστημα, όπως επίσης και οι ρητοί.
Φιλικά

[socrates]

Επαναφορά!

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

Για το 1)

Έστω με και , υπάρχουν τέτοιοι αφού η δεν είναι .

Παίρνω έναν τυχαίο άρρητο από το .

Αν τον αγνοώ αυτόν και παίρνω άλλο, υπάρχει το πολύ ένας με αυτή την ιδιότητα.

Έστω τώρα , θεωρώ τη συνεχή συνάρτηση στο

Αν η είναι η μοναδική ρίζα τότε διατηρεί πρόσημο στα και μάλιστα το ίδιο και στα δύο μιας και , άρα το θα ήταν σημείο ολικού μεγίστου ή ελαχίστου στο και μάλιστα μοναδικό.

Επειδή υπάρχουν πεπερασμένα τέτοια σημεία -ίσως και κανένα- έχω ότι για κάθε άρρητο στο θα βρεθεί με με εξαίρεση ίσως το πολύ 3 τέτοια .
Αν το ήταν άρρητος έχουμε άτοπο αφού η είναι 1-1 στους άρρητους, άρα θα είναι ρητός, και μάλιστα η απεικόνιση είναι , όμως οι άρρητοι στο αποτελούν μη αριθμήσιμο σύνολο και αν μία τέτοια απεικόνιση ήταν εφικτή, μιας και αντίθετα οι ρητοί είναι αριθμήσιμο σύνολο θα ήταν και οι άρρητοι, άτοπο!

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

α) Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση , η οποία δεν είναι 1-1, αλλά ο περιορισμός της στους άρρητους είναι 1-1.
β) Έχουμε το ίδιο συμπέρασμα αν αντικαταστήσουμε τους άρρητους με ρητούς;
(Για το δεύτερο ερώτημα δεν έχω λύση)
Φιλικα

α)Έστω οτι δεν είναι 1-1. Θα υπάρχουν με και .
Η συνάρτηση δεν είναι σταθερή στο
Παίρνουμε με
Επειδή το είναι αριθμήσιμο και το είναι.
Παίρνουμε έναν πραγματικό στο διάστημα με άκρα τα εστω που δεν ανήκει στο .
Από ΘΕΤ υπάρχουν με και ώστε
Προφανώς τα είναι άρρητοι.ΑΤΟΠΟ.

β)Δεν ισχύει.
Ενα αντιπαράδειγμα είναι η συνάρτηση

για

για

Προφανώς δεν είναι 1-1 και αν την δούμε στο με λίγες πράξεις βγαίνει 1-1

[nickthegreek]

Δύο παρόμοια ερωτήματα:

1) Υπάρχει συνάρτηση , π.χ. στο , που να είναι συνεχής σε κάθε άρρητο αριθμό και ασυνεχής σε κάθε ρητό;

2) Το ανάποδο;

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Δύο παρόμοια ερωτήματα:

1) Υπάρχει συνάρτηση , π.χ. στο , που να είναι συνεχής σε κάθε άρρητο αριθμό και συνεχής σε κάθε ρητό;

2) Το ανάποδο;

Μάλλον θες να πεις ότι

1) Υπάρχει συνάρτηση , π.χ. στο , που να είναι συνεχής σε κάθε άρρητο αριθμό και ασυνεχής σε κάθε ρητό;

[nickthegreek]

Σωστά! Συγγνώμη για το τυπογραφικό.

[Mihalis_Lambrou]

1) Υπάρχει συνάρτηση , π.χ. στο , που να είναι συνεχής σε κάθε άρρητο αριθμό και ασυνεχής σε κάθε ρητό;

Υπάρχει. Το στάνταρ παράδειγμα που με είχε εντυπωσιάσει όταν το πρωτοείδα στα φοιτητικά μου χρόνια, είναι η συνάρτηση που είναι μηδέν στους άρρητους και στον ρητό (με το κλάσμα ανάγωγο) ικανοποιεί

.

Η ασυνέχεια στους ρητούς βγαίνει από την πυκνότητα των αρρήτων και το γεγονός ότι μία σταθερά μηδενική ακολουθία δεν μπορεί να τείνει σε δεδομένο .

Η συνέχεια στους άρρητους είναι πιο ενδιαφέρουσα. Βγαίνει από το γεγονός (αφήνω τις λεπτομέρειες) ότι αν μία ακολουθία ρητών τείνει σε έναν άρρητο, τότε οι παρονομαστές τους πρέπει να τείνουν στο άπειρο. Αυτό έπεται από την παρατήρηση ότι ένα σύνολο ρητών με φραγμένους παρονομαστές δεν μπορεί να συγκλίνει, όσο μεγάλο και αν είναι αυτό το φράγμα, γιατί είναι πεπερασμένοι σε πλήθος. Άρα δεν μπορεί να συγκλίνει σε άρρητο.

[Mihalis_Lambrou]

Δύο παρόμοια ερωτήματα:

1) Υπάρχει συνάρτηση , π.χ. στο , που να είναι συνεχής σε κάθε άρρητο αριθμό και ασυνεχής σε κάθε ρητό;

2) Το ανάποδο;

To 2) έμεινε αναπάντητο. Για να κλείνει, χωρίς τις λεπτομέρειες αλλά με επίκληση γνωστών θεωρημάτων της (προχωρημένης) Τοπολογίας αποδεικνύεται ότι δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση:

Είναι γνωστό ότι το σύνολο των σημείων συνεχείας μιας πραγματικής συνάρτησης είναι αριθμήσιμη τομή ανοικτών συνόλων. Είναι δηλαδή αυτό που ονομάζουμε σύνολο . Βλέπε εδώ. Από την άλλη είναι γνωστό ότι το σύνολο των ρητών αριθμών δεν είναι . Η απόδειξη που ξέρω εν γένει υπάρχει στα καλά βιβλία Τοπολογίας και βασίζεται στο Baire Category Theorem. Συνεπώς δεν υπάρχει πραγματική συνάρτηση η οποία είναι συνεχής ακριβώς στο σύνολο των ρητών.